ハミルトニアン

質問

放射線物理の勉強をしているところなのですが、3次元空間でのハミルトニアンでつまずいてしまいました。
1次元の場合はわかっているのですが、3次元空間でのハミルトニアンになるとわけがわからなくなってきました。さらに、「質量mの質点が3次元空間の原点から距離ｒに比例する力ｋｒで引かれながら運動する場合」という条件が付いていて更にわからなくなりました。

友人数人と考えましたが納得行くハミルトニアンが導き出せません。ヒントでも何でもいいのでお願いします。

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

ご質問の意味がいまいちよく掴めませんが、1次元のハミルトニアンは分かっておられるということですから、3次元にまで独立変数を増やせばよいということになると思います。
具体的には、力学系の運動エネルギーをＴ、ポテンシャルエネルギーをＶとするとハミルトニアンＨは
Ｈ＝Ｔ＋Ｖ (1)
と書かれます。但し、なぜハミルトニアンがこのように書かれるのかという定式化については解析力学の知識が必要で、ここではそこまで踏み込まないことにします。
さて、今、1次元の調和振動子を考えてみます。質点の速度をVx、運動量をPx(=mVx)、原点からの変位量をxとすると、このハミルトニアンは直交座標系で書くと(1)から
H1＝(1/2)mVx^2＋(1/2)kx^2
＝(1/2m)Px^2＋(1/2)kx^2 (2)
となりますね。ご質問の「質量mの質点が3次元空間の原点から距離ｒに比例する力ｋｒで引かれながら運動する」力学系は3次元調和振動子となりますから、(2)式を3次元に拡張すればよい事になります。このハミルトニアンをH3とすると
H3＝(1/2m){Px^2＋Py^2+Pz^2}＋(1/2)k(x^2+y^2+z^2)
＝(1/2m){Px^2＋Py^2+Pz^2}＋(1/2)kr^2
となります。以上は古典力学でのハミルトニアンでしたが、量子力学では運動量を微分演算子で置きかえればよいということになります。
Px→-i(h/2π)∂/∂x（他同様）
ご質問の主旨とは違う回答でしたらごめんなさい。

お礼

丁寧な回答をありがとうございます。
非常に参考になりました。
おかげで少しずつですが問題を解き進んでいけるようになりました。

あまりにも勉強不足だと感じたのでもっと基礎を固めなければいけませんね。

ありがとうございました。

回答No.1

pipejob

ハミルトニアンは運動エネルギーの演算子であり、演算子自体を導き出すには相当の計算量が必要だと思います。
距離ｒに比例する力krですから三次元の調和振動子の問題でしょう。
ラプラシアン、ルジャンドル演算子をキーワードに調べてみては？

お礼

持っている参考書では1次元の調和振動子しか書かれてなかったのですが、ご教授の通りに調べてみると徐々にわかってきました。

でも、いきなりハミルトニアンを・・・というのではなくて他にももっと勉強することがありそうですね。

アドバイスありがとうございました。