高校数学の、曲線の長さがわかりません。

質問

x = f(t) ， y = g(t)
という媒介変数の曲線について、

t = a から t = t までの道のりを
s(t) と表すことにすると、
三平方の定理を dt で割れば、

s'(t) = √{ f'(t)^2 + g'(t)^2 }

となることまでは何となく分かったんですが…
そうすると、

s(b) =∫√{ f'(t)^2 + g'(t)^2 } dt
　　　　（範囲はa→b）

となる、という部分が、ピンときません。

なんで s の中は b になるのに、
積分の中は t のままなのかとか、
いろいろ考えていたら、分からなくなってしまいました。

どう考えればいいのでしょうか？

回答No.2

sanori

こんにちは。

ｓ（ｂ）というのは、色々あるｓの中で、特にｂに限定ということです。

定積分は、色々な定積分ができるなかで、特にｔの範囲がａからｂまでの定積分に限定しています。

つまり、ｂが定数であるならば、左辺・右辺は、ともに定数です。
（あるいは、ｂの関数です。）
積分の中身にｔがあっても、ｔについてａ～ｂの定積分をすれば最後にｔは消えますから、つじつまは合っています。

回答No.1

spring135

定積分不定定積分の違いです。