ラグランジュの乗数法を使った条件付極値問題について

質問

ラグランジュの乗数法を使った条件付極値問題について誰か教えてください。

x^3-6xy+y^3=0のときx^2+y^2の極値を求めよ

という問題なのですが、ラグランジュの乗数法で出た式がどうしても解けません。

テストが近いにも関わらずさっぱりお手上げで困っています。
もしどなたか解ける方がいらっしゃったらどうかよろしくお願いします。

回答No.3

joggingman · ベストアンサー

f(x,y,λ)=x^2+y^2+λ(x^3-6xy+y^3)　とおいて、

∂f/∂x=2x+λ(3x^2-6y)=0
∂f/∂y=2y+λ(3y^2-6x)=0
x^3-6xy+y^3=0
より、

y≠(1/2)x^2,x≠(1/2)y^2のとき
λ=2x/(6y-3x^2)=2y/(6x-3y^2)
y(2y-x^2)=x(2x-y^2)
2y^2-x^2y=2x^2-xy^2
2(y-x)(y+x)+xy(y-x)=(y-x){2(x+y)+xy}=0
x=yまたは、2(x+y)+xy=0

x=yのとき、2x^3-6x^2=2x^2(x-3)=0より、(x,y)=(0,0),(3,3)
y=-2x/(2+x)のとき、(x,y)=(0,0)

y=(1/2)x^2のとき、(x,y)=(0,0)
x=(1/2)y^2のとき、(x,y)=(0,0)

x^2+y^2の最小値（極小）は０で、極大値は18

お礼

なんとか理解できました！
大変わかりやすい解説ありがとうございました。

回答No.2

endlessriver

杉浦光夫、解析入門IIの３３ページに、ほぼ同じ問がある。回答付き！

お礼

そうなんですか？！
参考にしてみたいと思います

回答No.1

stomachman

直交座標系(x,y)から極座標系(r,θ)にフツーに変数変換すると、制約条件の方程式はrについて簡単に解け、また目的関数は
r^2=x^2+y^2
だから、単にrの極値を求める問題に帰着。となると、この場合、ラグランジュ乗数法は要らんでしょう。

お礼

こういう解法もあるんですね。
今回は乗数法を使わなければならないテストなので使えませんが、とても参考になりました。