大学１年レベル以下の極値に関する質問です

質問

g(x,y,z)=3x-7y+2z-31=0の条件のもとで、f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2の最小値を求めよ。

という問題を、私は高校数学のように、原点を中心としてもつ球と平面3x-7y+2z-31=0とが接するときの球の半径の２乗が求める最小値である、と幾何学的に解釈して解き、最小値62/4を得ました。

しかし、私はこれをラグランジュの未定乗数法を用いて解答を作ろうと思い書いてみました。

具体的には、
gをx,y,z,それぞれで偏微分した値はすべて０でない（定数な）ので、fが極値をとる点はラグランジュの未定乗数法によって得られる点の中にすべて含まれる。
2x-3λ=0
2y-7λ=0
2z-2λ=0
3x-7y+2z-31=0を解いて、(x,y,z)=(3/2,-7/2,1)を得る
今、f(3/2,-7/2,1)=62/4である

というところまで書いて、確かに答えは一致したのですが、この回答の場合、どのようにしてこの値が最小値であると言い切れるのかがよくわかりません。もちろん図をかけばわかりますが・・・。

どのようにしてこの極値が最小値であると言うのでしょうか？

どなたか回答よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

orcus0930 · ベストアンサー

ラグランジュの未定乗数法なので、その点が極値であることは保証されています。

で、極値が1つなわけですから、
その点は最大か　最小のいずれかです。
(31/3,0,0)を考えれば、f=961/9>62/4(=31/2にしたほうがいい)
となって、より大きい値をとることができるので、
最大ではないので、最小値だということになります。

お礼

回答ありがとうございます。
よくかんがえれば極値が一つとは、最大もしくは最小ですね！助かりました。ありがとうございます。