6次方程式の１つの解αに対して，

質問

方程式
x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
の１つの解αに対して，
β_i=α^i+α^(-i)
とおくとき，多項式
f(x)=(x-β_1)(x-β_2)(x-β_3)
を求めよ．

どのようにして求めればよいのでしょうか。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0
より、
α^7=1

β_1=α+1/α=α+α^6
β_2=α^2+1/α^2=α^2+α^5
β_3=α^3+1/α^3=α^3+α^4

β_1+β_2+β_3=α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6=-1

β_1*β_2=(α+1/α)(α^2+1/α^2)=α^3+α+1/α+1/α^3=α+α^3+α^4+α^6
β_2*β_3=(α^2+1/α^2)(α^3+1/α^3)=α^5+α+1/α+1/α^5=α+α^2+α^5+α^6
β_3*β_1=(α^3+1/α^3)(α+1/α)=α^4+α^2+1/α^2+1/α^4=α^2+α^3+α^4+α^5
β_1*β_2+β_2*β_3+β_3*β_1=2(α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6)=-2

β_1*β_2*β_3=(α+1/α)(α^2+1/α^2)(α^3+1/α^3)
=α^6+1+α^2+1/α^4+α^4+1/α^2+1+1/α^6
=2+α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6=1

(x-β_1)(x-β_2)(x-β_3)
=x^3-(β_1+β_2+β_3)x^2+(β_1*β_2+β_2*β_3+β_3*β_1)x-β_1*β_2*β_3
=x^3+x^2-2x-1

f(x)=x^3+x^2-2x-1

お礼

ありがとうございました。
とても参考になりました。

類似の問題（12次パターンと18次パターン）を今投稿していまして、なにかの上手な計算のコツがある気がするのですが。

回答No.2

hiccup

x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
x^3+x^2+x+1+x^(-1)+x^(-2)+x^(-3)=0
(x+1/x)^3 +(x+1/x)^2 -2(x+1/x) -1=0

X^3+X^2-2X-1=0　の解を調査する手もあるのではないかな。

お礼

ありがとうございます。

x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
x^3+x^2+x+1+x^(-1)+x^(-2)+x^(-3)=0
(x+1/x)^3 +(x+1/x)^2 -2(x+1/x) -1=0

t=x+1/x とすると、
t^3+t^2-2t-1=0

ここで、α^7=1より、
α+1/α=α^6+1/α^6,
α^2+1/α^2=α^5+1/α^5,
α^3+1/α^3=α^4+1/α^4

の3つはtの3次方程式の解なので、求める3次方程式は、x^3+x^2-2x-1=0

とても上手な解法をありがとうございました。
似たような問題も投稿していますので、興味がありましたらよろしくお願いいたします。