12次方程式の１つの解αに対して，

質問

方程式
x^12+x^11+…+x+1=0
の１つの解αに対して，
β_i=α^i+α^(-i)　，
γ_1=β_1+β_5，
γ_2=β_2+β_3，
γ_3=β_4+β_6
とおくとき，多項式
f(x)=(x-γ_1)(x-γ_2)(x-γ_3)
を求めよ．
(答)f(x)=x^3+x^2-4x+1

上手な計算方法があると聞きました。それが分かる方はどうか教えてください。

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

18次の方にちょろっと書かれてるけど, こっちも同じです. ということは, 例えば γ_1 γ_2 を計算できれば γ_2 γ_3 や γ_3 γ_1 も自動的に計算できてしまっていることになりますね.

でさらに定数項も計算できる, と.

お礼

ありがとうございます。

mod13の原始根のひとつは2。
α^13=1

γ_1=β_1+β_5
=α^1+α^12+α^5+α^8
=α^1+α^8+α^12+α^5
=α^8^0+α^8^1+α^8^2+α^8^3
=α^2^0+α^2^3+α^2^6+α^2^9

γ_2=β_2+β_3
=α^2+α^11+α^3+α^10
=α^2+α^3+α^11+α^10
=α^(2*8^0)+α^(2*8^1)+α^(2*8^2)+α^(2*8^3)
=α^(2*2^0)+α^(2*2^3)+α^(2*2^6)+α^(2*2^9)

γ_3=β_4+β_6
=α^4+α^9+α^6+α^7
=α^4+α^6+α^9+α^7
=α^(4*8^0)+α^(4*8^1)+α^(4*8^2)+α^(4*8^3)
=α^(4*2^0)+α^(4*2^3)+α^(4*2^6)+α^(4*2^9)

つまり、γ_1のαをα^2に書き換えたものが、γ_2。
（γ_1のα^2倍がγ_2というわけではない）
さらに、γ_2のαをα^2に書き換えたものが、γ_3。

γ_1 γ_2をαで表すことができれば（この計算は地道にやるしかなさそうですね）、
そのαをα^2に書き換えたものが、γ_2 γ_3。
さらに、そのαをα^2に書き換えたものが、γ_3 γ_1。

つまり、もとにもどって地道に、
γ_1 γ_2=(α^1+α^-1+α^5+α^-5)(α^2+α^-2+α^3+α^-3)
=α^3+α^-3+α^1+α^-1+α^4+α^-4+α^2+α^-2+α^7+α^-7+α^3+α^-3+α^8+α^-8+α^2+α^-2
=α^3+α^-3+α^1+α^-1+α^4+α^-4+α^2+α^-2+α^6+α^-6+α^3+α^-3+α^5+α^-5+α^2+α^-2
=α^1+α^-1+2(α^2+α^-2)+2(α^3+α^-3)+α^4+α^-4+α^5+α^-5+α^6+α^-6

αをα^2に書き換え、指数の部分をmod13で考えて、
γ_2 γ_3=α^2+α^-2+2(α^4+α^-4)+2(α^6+α^-6)+α^8+α^-8+α^10+α^-10+α^12+α^-12
=α^2+α^-2+2(α^4+α^-4)+2(α^6+α^-6)+α^5+α^-5+α^3+α^-3+α^1+α^-1

αをα^2に書き換え、指数の部分をmod13で考えて、
γ_3 γ_1=α^4+α^-4+2(α^8+α^-8)+2(α^12+α^-12)+α^10+α^-10+α^6+α^-6+α^2+α^-2
=α^4+α^-4+2(α^5+α^-5)+2(α^1+α^-1)+α^3+α^-3+α^6+α^-6+α^2+α^-2

よって、
γ_1 γ_2 + γ_2 γ_3 + γ_3 γ_1
=4(α^1+α^-1+α^2+α^-2+α^3+α^-3+α^4+α^-4+α^5+α^-5+α^6+α^-6)
=-4

γ_1 + γ_2 + γ_3
=α^1+α^-1+α^2+α^-2+α^3+α^-3+α^4+α^-4+α^5+α^-5+α^6+α^-6
=-1

γ_1 γ_2 γ_3は、やはり、地道に計算しなければいけないかもしれません。

例えば、α^13=1のとき、mod13の原始根のひとつは2で、
α^4 * α^3 = α^(4+3) = α^7
⇔
α^2^2 * α^2^4 = α^(2^2+2^4) = α^2^11
となりますが、
α^2^2とα^2^4の積がα^2^11になるということをすぐに計算できるような指数法則の先にある公式があればありがたいのですが。

回答No.3

graphaffine

私は詳しくありませんが、円分多項式が参考になるのでは。

円分多項式(wiki)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F

数学者の密室(数論のサイト)
http://www.asahi-net.or.jp/~kc2h-msm/mathland/math11/math1111.htm

お礼

ありがとうございます。

勉強してみます。

回答No.2

Tacosan

ついでにいうと γ_1 γ_2 とかを計算する前に β_1 β_2 などを考えるといいかもしれない.

お礼

ありがとうございます。

δ_1=β_1*β_5，
δ_2=β_2*β_3，
δ_3=β_4*β_6
とおくとき，多項式
g(x)=(x-δ_1)(x-δ_2)(x-δ_3)
を求めて、3次方程式を解くことで、
β_1*β_5の値を求め、β_1+β_5の値とあわせて、β_1を求め、
2次方程式β_1=α^1+α^(-1)を解くことで、最終的にαが求められると思います。

解の組み合わせ方については、ガウスのf項周期という概念で考えるようです。
ネットで調べても限界で、専門書(持っていないけど)を見ないといけないなあと思っています。

回答No.1

Tacosan

6次の方はあの形だとわかりにくいけど, この 12次とかもう 1つの 18次とかになるとわかりやすい構造が出てくる.

13 や 19 の原始根に気をつけて, ガウスが導いた「正17角形を定規とコンパスのみで描く方法」を見ればわかるんじゃないかな.

お礼

ありがとうございます。

この問題の趣旨は、
方程式x^12+x^11+…+x+1=0
を平方根と立方根を用いて解くことなのですね。
まだ、β_iやγ_iをなぜそのようにおいたのかとか、
原始根を用いて要領よく解く方法については分かっていないので、勉強します。