三角関数

質問

y=sinx+cosx+sinxcosxで0≦ｘ＜2πのときこの関数がとる範囲は
どのように求めればよいでしょうか。

回答No.1

himajin100000 · ベストアンサー

p = sin(x)+cos(x)と置くと

p^2
= sin(x)^2 + 2 * sin(x) * cos(x) + cos(x)^2
= sin(x)^2 + cos(x)^2 + 2 * sin(x) * cos(x)
= (sin(x)^2 + cos(x)^2) + 2 * sin(x) * cos(x)
= 1 + 2 * sin(x) * cos(x)

よって

sin(x) * cos(x) = (p^2 - 1) / 2

よって

y
= p + (p^2 - 1) / 2
= 1/2 * (p^2 - 1 + 2 * p)
= 1/2 * ((p + 1)^2 - 2)
= 1/2 * (p + 1)^2 - 1

ところで、
p
= sin(x)+cos(x)
= sqrt(2) * (1/sqrt(2) * sin(x) + 1/sqrt(2) * cos(x))
= sqrt(2) * (cos(π/4) * sin(x) + sin(π/4) * cos(x))
= sqrt(2) * sin(x + π/4)

であるから、

-sqrt(2) <= p <= sqrt(2)

あとは普通の2次関数の最大・最小の問題で、

p = - 1のとき最小。y = -1
p = √2のとき最大。y = 1/2 + sqrt(2)

#個人的な好みで√書きたくなかったのでsqrtって書いてますが、当然試験では通用しません。

お礼

分かりやすい解答どうもありがとうございました。
参考になります！