三角関数

質問

関数ｙ＝sinｘ＋cosｘ(０＜＝ｘ＜＝π)がある。

(問)関数ｙの最大値と、その時のｘの値を求めよ。

０＜＝ｘ＜＝πから

π/４＜＝ｘ＋π/４＜＝５/４π
となるのは分かるのですが

解答にはこれより

－１/√２＜＝sin(ｘ＋π/４)＜＝１とあります。

なぜsinπ/４は－１/√２になったのですか??

数学が苦手なので
詳しく書いていただけると助かります(´・ω・｀)

よろしくお願いします^p^

※文字化けしちゃったので
しょうなりとイコールをわけてかいてます

回答No.2

chamiken · ベストアンサー

luvluvforuさん、こんにちは。

基礎から書きますので、理解されている部分は読み飛ばして下さい。
ちゃんと見られるかわかりませんが、画像も参考に添付します。

まず三角関数で一番大切なのは、
ｘ軸をsinθ、ｙ軸をcosθとした半径１の円を常にイメージすることです。

例えばθ＝π/4の時は、原点から右斜め上45度の線を描き、
半径１の円とその線が交わる点のｘ座標がsinθ、その点のｙ座標がcosθです。
(三角関数が苦手な学生の大半がこのイメージができていません)

半径１の円上の点のｘ座標やｙ座標は、１より大きくはなりませんよね？
だからsinθやcosθも１より大きくなることはないんです。
同じように、－１より小さくなることもありません。

では、今回の問題を見てみましょう。
今回の場合は、θ＝ｘ＋(π/4)ということになります。
つまり、(π/4)≦θ≦(5π/4)
この場合、添付の図で円弧を赤くなぞった部分が当てはまるので、
ｙ座標であるcosθの値は
θ＝(π/2)のときに最大値１となり、
θ＝(5π/4)のときに最小値(-1/√2)となります。解答と一致しますね。
ちなみに、θ＝(π/4)のときは、1/√2 なので最大値でも最小値でもありません。

つまり、θの値が大きくなっていく中で、
cosθの値はいったん大きくなっていき、θ＝(π/2)で最大値１になります。
でもそれ以降は、半径１の円のてっぺんを越えてしまうので、
ｙ座標の値であるcosθはそこからどんどん小さくなっていきます。
θ＝πになると、ｙ座標であるcosθは０になり、それ以降は負の値になります。
最終的にθ＝(5π/4)になり、ｙ座標であるcosθは最小値(-1/√2)となります。

まとめると、
θが大きくなるからと言って、sinθやcosθが大きくなるとは限らない。
言いかえると、
θが最小値や最大値のときに、sinθやcosθが最小値や最大値とは限らない。
今回の場合、
sin(π/4)が(-1/√2)になったのではなく、sin(5π/4)が(-1/√2)になっている。

以上、長くなってしまいましたが、わかるでしょうか？？
常に半径１の円をイメージすると解きやすいですよ。頑張って下さい☆

お礼

とてもわかりやすい文章でした!

確かにθの値とsinθの
大小関係は関係ないですよね

最終的な答えまで導いていただいて>_<

chamikenさん回答ありがとうございました^p^

回答No.1

yyssaa

－１/√２はsinπ/４ではなく、sin５/４πの値です。
三角関数は周期関数ですからXの値の大小とsinXの値の大小が常に一致する
という関係にはありません。
実際にπ/４＜＝ｘ＋π/４＜＝５/４πの各辺のsinの値をそのまま書くと、
sinπ/４＝１/√２＜＝sin(ｘ＋π/４)＜＝sin５π/４＝－１/√２
となり、１/√２＜＝－１/√２という矛盾が生じます。
ｘ＋π/４がπ/４＜＝ｘ＋π/４＜＝５/４πの範囲にあるときに
sin(ｘ＋π/４)がとり得る値は、ｘ＋π/４＝５π/４のときに最小となり、
その値は－１/√２、ｘ＋π/４＝２π/４＝π/２の時に最大（＝１）と
なるので、－１/√２＜＝sin(ｘ＋π/４)＜＝１と書かれているのです。

お礼

自分が勘違いをしていたことが
よくわかりました

５/４πがｙの最小値になるんですね!

＜と＝も別々に書いて下さって
大変助かりました^^

yyssaaさん
回答ありがとうございました*´ω｀