常用対数の利用

質問

正六角形の各辺の中点をとり、それらを順に線分で結んで正六角形をつくる操作を考える。
この操作を繰り返したとき、初めてその面積がもと正六角形の面積の1/100以下となるのは何回目か求めなさい。ただし、log10　2　＝0．3010、log10　3　＝0．4771とする。

解答見てもよく分かりませんでした。解説をお願いします。
(１)　どうして、正六角形の面積は3/4倍になるのか教えてください。
(2)　(3/4)＾n≦1/100と式がありますがよく分かりません。
(3)　途中の計算がなく分かりません。
よろしくお願いします。

解答
1回の操作で、正六角形の面積は3/4倍になる。
これをn回繰り返す。
(3/4)＾n≦1/100
n≧2/2×0．3010-0．4771＝16．01・・・
と書いてありました。

回答No.1

GOCHISOUda

（１）相似比を二乗すると面積比（おまけ、三乗すると体積比）
正六角形の対角線を描きます。正三角形の一辺の長さを２とします。
六角形の各辺の中点を結んだ小さい六角形の一辺の長さは
最初の正三角形の高さに当たるルート３になります。
つまり六角形の相似比は２：√３なので面積比は４：３
よって３／４倍

（２）対数を使います。
ｌｏｇ１０（３／４）＾ｎ≦ｌｏｇ１０（１／１００）
ｎ（ｌｏｇ１０　３-ｌｏｇ１０　4)≦ｌｏｇ１０ １-ｌｏｇ１０ １００
あとは解いて下さい。