【指数・対数】

質問

log10*2=0,3010、log10*3=0,4771(底が10)

(1)45^10の桁数を求めよ。

(2)(8/15)^ｎを少数であらわしたとき、

小数点以下第5位までは０、

第6位に初めて０以外の数字が現れるような正の整数ｎを求めよ。

ガイド↓
(1)桁数をｎとすると、10^(ｎ-1)≦45^10<10^ｎ

(2)1/10^6≦(8/15)^ｎ<1/10^5

解法付きでお願いします(*_ _)人

回答No.2

info22_

対数logの底を10（つまり常用対数）として、以降、底10を省略して書く事にすると
log2=0.3010、log3=0.4771

(1)
log(45^10)=10log45=10log(90/2)=10log(9*10/2)
=10(2log3+log10-log2)
log2,log3,log10=1を代入
=16.532
16=log(10^16)<log(45^10)<17=log(10^17)

1*10^16<45^10<1*10^17

1*10^16は17桁の数の最小値、1*10^17は18桁の数の最小値
より

∴45^10の桁数は17桁

(2)
(8/15)^nを小数であらわしたとき、
=0.00000xyz…　(x≠0)
なので
10^(-6)=0.000001<=(8/15)^n<0.00001=10^(-5)
常用対数をとると
-6log10<=nlog(8/15)<-5log10
-6<=n{log8-log(30/2)}<-5
-6<=n{3log2-(log3+log10-log2)}<-5
log2,log3,log10=1を代入
-6<=n*(-0.2731)<-5
5<0.2731n<=6
18.31<n<=21.97
nは正整数より
19<=n<=21
n=19,20,21

[検算]
(8/15)^19=0.00000650…
(8/15)^20=0.00000346…
(8/15)^21=0.00000184…
条件に合致

回答No.1

mister_moonlight

Ａ＝0.0021＝(2.1)×(10＾-3)は少数第3位に初めて0でない数字2が現れる。これが基本。
これが分かってれば、そのガイドの通りなんだけど。
良く考えてみて。