大学のベクトル

質問

次の問題の証明の書き方が分かりません。

（A×B）・（C×D）＝（A・C）（B・D）-（A・D)(B・C）

よろしくお願いします

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

ひたすら定義にしたがって計算するだけでしょう。

(A×B)・(C×D)
= (A×B)x(C×D)x + (A×B)y(C×D)y + (A×B)z(C×D)z
= (AyBz - AzBy)(CyDz - CzDy) + (AzBx - AxBz)(CzDx - CxDz)
+ (AxBy - AyBx)(CxDy - CyDx)
= AyCyBzDz - AyDyBzCz - AzDzByCy + AzCzByDy
+ AzCzBxDx - AzDzBxCx - AxDxBzCz + AxCxBzDz
+ AxCxByDy - AxDxByCy - AyDyBxCx + AyCyBxDx
= AxCx(ByDy + BzDz) + AyCy(BxDx + BzDz) + AzCz(BxDx + ByDy)
- AxDx(ByCy + BzCz) - AyDy(BxCx + BzCz) - AzDz(BxCx + ByCy)
= (AxCx + AyCy + AzCz)(BxDx + ByDy + BzDz)
- (AxDx + AyDy + AzDz)(BxCx + ByCy + BzCz)
= (A・C)(B・D) - (A・D)(B・C)

補足

すいません。

= AxCx(ByDy + BzDz) + AyCy(BxDx + BzDz) + AzCz(BxDx + ByDy)
　- AxDx(ByCy + BzCz) - AyDy(BxCx + BzCz) - AzDz(BxCx + ByCy)
= (AxCx + AyCy + AzCz)(BxDx + ByDy + BzDz)
　- (AxDx + AyDy + AzDz)(BxCx + ByCy + BzCz)

何でこうくくれるのか分かりません。どうやるんですか？

回答No.3

yokkun831

右辺がわかっているので，それをにらみながら接近をはかっていくというのが基本方針です。

AxCx(ByDy + BzDz) + AyCy(BxDx + BzDz) + AzCz(BxDx + ByDy)
　- AxDx(ByCy + BzCz) - AyDy(BxCx + BzCz) - AzDz(BxCx + ByCy)

AxBxCxDxなど添え字のそろった項がいずれも不足しているのがおわかりですね？
プラスとマイナスと両方とも不足していますから，両方付け加えてやればいいのです。

= AxCx(【BxDx】 + ByDy + BzDz ) + AyCy( BxDx + 【ByDy】 + BzDz )
+ AzCz( BxDx + ByDy + 【BzDz】 ) - AxDx( 【BxCx】 + ByCy + BzCz )
- AyDy( BxCx + 【ByCy】 + BzCz ) - AzDz( BxCx + ByCy + 【BzCz】 )

付け加えた【　】の項は展開によってキャンセルされることを確認できましたか？

= (AxCx + AyCy + AzCz)(BxDx + ByDy + BzDz)
　- (AxDx + AyDy + AzDz)(BxCx + ByCy + BzCz)

こうした先を見越した変形ができると強いです。
でも，この見通しができなくても，右辺は右辺で展開して一致を確認してもよいのです。冗長になるのがいやなので，押しとおした…って感じです。

補足

すいません。わざわざありがとうございました。

回答No.1

auroray

頑張って書き下しましょう。
必ずできるはずです。

できなければ以下を。

スカラー３重積より、
A・（C×D）＝C・(D×A)
が成り立ちます。

これの証明は書き下すだけです。
書いて見ると簡単にできます。

ここで、
A⇒（A×B）
と考えましょう。

すると、
（A×B）・（C×D）＝C・｛D×（A×B）｝

ここでベクトル３重積
H×（I×J）＝I（H・J）－J（H・I）
を使います。

これも書き下せば分かります。
スカラー３重積の時よりも
たくさん書きますが、何とかなります。

ベクトル３重積より｛ ｝内は
D×（A×B）＝A（D・B）－B（D・A）
となります。

後は分かりますよね。

手を動かしてみましょう。

分かるところだけでもやってみると
道筋が見えることが多いです。