ベクトルの問題です。

質問

教科書に載っている問題で、わからない問題があったので教えて欲しいです…
問1は、A=ai+2j+k
B=3i+bj+k
C=2i+j+ck
が互いに垂直になるような a,b,c の値を求める。

問2は、
三つのベクトル A,B,C が定める平行六面体の体積はA・(B×C)の絶対値に等しいことを証明せよ。
なお、A・(B×C)をスカラー3重積という。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

問１
互いに垂直ということは、内積がゼロです。

０　＝　Ａ→・Ｂ→　＝　３ａ　＋　２ｂ　＋　１
０　＝　Ｂ→・Ｃ→　＝　６　＋　ｂ　＋　ｃ
０　＝　Ｃ→・Ａ→　＝　２ａ　＋　２　＋　ｃ
これで連立方程式ができましたから、ａ、ｂ、ｃ　が求まります。

問２
平行六面体というのは、直方体のことです。
体積は、縦×横×高さ　ですよね。
３つのベクトルは互いに垂直なのですから、
体積　＝　Ａ→の長さ　かける　Ｂ→の長さ　かける　Ｃ→の長さ
　＝　Ａ→の絶対値　かける　Ｂ→の絶対値　かける　Ｃ→の絶対値

あとは、地道な計算です。
絶対値は、３つの成分のそれぞれの２乗をとって、それらを足して、√の中に入れればよいですよね。
Ａ→・（Ｂ×Ｃ）も、定義に沿って計算するだけです。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

ありがとうございました、お陰様でなんとかなりそうです！

回答No.2

noname#111804

問題２

A・(B×C)を擬スカラーと言います。因子(B×C)が座標軸に依存し
普通のスカラーと違うからです。スカラー量は座標の選び方とは無関係です。

次にベクトルAとベクトル積P=(B×C)とのスカラー積
A・(B×C)を考えます。ベクトル積P=(B×C)はベクトルB,Cにより
張られる平行四辺形の面積に等しい。

何故なら、定義により
ベクトル積P=(B×C)
＝｜B|・｜C|sin（B,C)だからです。

けっきょく
A・(B×C)
＝A・（平行四辺形の面積）
＝｜A|・｜（平行四辺形の面積）｜COS（A,（平行四辺形の面積））
＝平行六面体の体積

お礼

回答ありがとうございました！
証明は、どの問題よりも特に苦手な分野なので助かりました。