4次方程式の虚数解αが(α+1/α)^16＞0

質問

4次方程式
x^4-x^3+ax^2+x+1=0
は虚数解αをもち，
(α + 1/α)^16＞0 のとき，実数ａの値を求めよ．

(答)a=5/2 , (6±3√2)/2

いったいどのようにしてaを求めるのでしょうか?

回答No.6

178-tall · ベストアンサー

筋書きだけでも。

　x^4-x^3+ax^2+x+1 = x^2(x^2 - x + a + 1/x + 1/x^2)
　にて、u = (x - 1/x) とすれば、
　x^2 - x + a + 1/x + 1/x^2 = u^2 - u + (a+2) = P(u)

P(u) の零点 uo は、
　uo = {1±i*SQRT(7+4a)}/2　　　…(1)
x は、
　xo = {uo±SQRT(uo^2 + 4)}/2
これに対応して、
　xo + 1/xo = (uo^2 + 4)^(1/2)
つまり、
　(xo + 1/xo)^16 = (uo^2 + 4)^8　　　…(2)

(1), (2) から、
　arg(uo^2 + 4) = atan[2SQRT(7+4a)/(5-2a)]　　　…(3)

(3) が (π/8) の整数倍になる a を調べる…みたいな手？

たとえば、a = 5/2 なら(π/8) の 4 倍。

お礼

ありがとうございます。

　uo = {1±i*SQRT(7+4a)}/2　
なので、
uo^2 + 4 = (5-2a)/2 + (i/2)SQRT(7+4a)

(xo + 1/xo)^16 = (uo^2 + 4)^8　> 0　
なので、

arg(uo^2 + 4) = (π/4) の整数倍

(5-2a)/2 + (i/2)SQRT(7+4a) の実部と虚部のどちらかが0、もしくは、
実部と虚部の比が1：±1

それからaを求める。
(5-2a)/2 = 0　のとき、a=5/2
SQRT(7+4a) = 0 のとき、uo は虚数でなくなり、題意から不適。
(5-2a)^2 = {SQRT(7+4a)}^2　 のとき、a= (6±3√2)/2

なんとか解けました。ありがとうございました。

回答No.2

178-tall

>4次方程式　x^4-x^3+ax^2+x+1=0　は虚数解αをもち…
　　↓
　とは、
　　α= iu (u は実数) とおいて左辺へ代入、
　　u^4 + iu^3 - au^2 + iu + 1 = 0
　が成立つ実数 u がある、ということ？

お礼

虚数とは、複素数から実数を除いたものです。u+iv(v≠0)のことです。
iv(v≠0)というのは純虚数のことで、それではありません。

たとえば、a=5/2 として、
x^4-x^3+(5/2)x^2+x+1=0
の解αは、近似で、
-0.257636-0.523141i
-0.257636+0.523141i
0.757636-1.53841i
0.757636+1.53841i
となり、それぞれの(α + 1/α)^16の値は、
326.249+0.0031678i
326.249-0.0031678i
326.249-0.00885377i
326.249+0.00885377i
とすべてほぼ正となり正しいようなのです。

回答No.1

mister_moonlight

(α + 1/α)^16＞0 の形なら、

x^4-x^3+ax^2+x+1=0 は　x^4-x^3+ax^2-x+1=0 の間違いじゃないか？

お礼

問題文は正しいようなのです。

たとえば、a=5/2 として、
x^4-x^3+(5/2)x^2+x+1=0
の解αは、近似で、
-0.257636-0.523141i
-0.257636+0.523141i
0.757636-1.53841i
0.757636+1.53841i
となり、それぞれの(α + 1/α)^16の値は、
326.249+0.0031678i
326.249-0.0031678i
326.249-0.00885377i
326.249+0.00885377i
とすべてほぼ正となり正しいようなのです。

また、
x^4+x^3+(5/2)x^2+x+1=0
の解αに対して、(α + 1/α)^16を考えると、これもなぜかすべてほぼ正となるようなのです。