物理の問題です。

質問

半径Ｒの大きな半球の頂点に半径ｒの小球がのせている。この小球が静止状態から滑らずに転がり落ちる時、大半球から離れる角Θを求めよ。

回答No.1

ninoue · ベストアンサー

答えのヒントだけですが、次のように考えて解いて行って下さい。

球表面は滑らかで摩擦力はなしとして考えます。
球の頂点と球中心、及び小球のなす角度をθ、球半径をR、重力加速度をgとして考えます。

球表面を小球が滑り落ちるに従って、小球の位置エネルギーが運動エネルギーに変化して行きます。
運動エネルギーに変化した位置エネルギー:mg(1-cosθ)
運動エネルギー: mv^2/2 = m(Rω)/2; ω = dθ/dt;

小球に働く力は(円運動の)遠心力:mrω^2と重力mgです。
重力は球の中心方向の力と、球の円周方向:進行方向の力とに分解出来ます。
最初は速度が遅く、遠心力は小さく、重力の球中心方向の分力(mg*cosθ)の方が大きいので、小球は球表面から離れずに滑り落ちて行きます。

その内に速度が増すと遠心力は次第に大きくなって行きます。
一方重力の球中心方向の力は角度θが大きくなって行くので、次第に小さくなっていきます。

小球が球表面を離れるのは、遠心力の方が重力の球中心方向の分力と同じになった地点です。

以上の条件から方程式を組み立てれば、求める角度が計算できます。
ω = dθ/dt　の角速度の値は実際には求めなくても最終結果のθの値は求まります。

なお、答えは53.97度とされていますが、48.19度となるようです。
(水平面となす角度とした場合、90-48.19=41.81度となり、いずれにしても53.97度にはならないようです。こちらが間違っている可能性も全く無い訳では無いでしょうが)

計算式も求めたのですが、簡単ですので自分で求めてみて下さい。
分からない点が出て来た場合、途中経過及び疑問点を補足に記して問い合わせ下さい。

回答No.2

ninoue

次の式を訂正します。
運動エネルギー: mv^2/2 = m(Rω)/2; ω = dθ/dt;　　==>
運動エネルギー: mv^2/2 = m(Rω)^2/2; ω = dθ/dt;

なお、答の 48.19度は cosθ=2/3 として求まります。