通信工学 フーリエ級数の計算

質問

通信工学のテキストにてどうしてもわからない計算式があるため質問させていただきます．
フーリエ級数の直流成分cを求める計算式で，
直流信号x(t)=1
c=((1/2pi)∫[-pi→pi]f(t)x(t)dt)/((1/2pi)∫[-pi→pi]{x(t)}^2dt)
=((1/2pi)∫[-pi→pi]f(t)dt)/((1/2pi)∫[-pi→pi]dt)=(1/2pi)∫[0→pi]dt=1/2
という式があるのですが，
まず，「((1/2pi)∫[-pi→pi]dt)」の部分は計算すると1になると思うのですが，
ここが1だとすると，
(1/2pi)∫[-pi→pi]f(t)dt=(1/2pi)∫[0→pi]dtということになると思われますが，
f(x)が消え，区間が[-pi→pi]から[0→pi]となるのにどのような手法を用いているのか
わかりません．

この計算でもう3日くらい悩んでいます．
初歩的な質問かもしれませんが，よろしくお願いします．

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

いや, その
f(t) = 1/2 + ...
というのは「フーリエ展開した」結果でしょ? そうじゃなくて, 「もともとの信号」でどうなのかを聞きたかったんだけどねぇ....

もし f(t) という矩形波が
・-π ≦ t < 0 で 0
・0 ≦ t < π で 1
のような形 (等号はてきとうにどっちかに入ってればいい) だったら,
(1/2pi)∫[-pi→pi]f(t)dt=(1/2pi)∫[0→pi]dt
は当然だよね.

お礼

f(x)はテキストでは波形が図示されているだけで式が載っていなかったので
展開後の式を出させていただきました．

つまりは，
(1/2pi)∫[-pi→pi]f(t)dt=(1/2pi)(∫[-pi→0]f(t)dt+∫[0→pi]f(t)dt)
=(1/2pi)(∫[-pi→0]0dt+∫[0→pi]1dt)=(1/2pi)∫[0→pi]dt
ということですね．

ありがとうございました．

回答No.1

Tacosan

そもそも f(t) って何?

補足

すみません．説明が不足しておりました．
f(t)は周期2PIの周期信号(矩形波)で，
式で表現すると以下のようになります．
f(t)=1/2+(2/pi)sin(t)+(2/3pi)sin(3t)+(2/5pi)sin(5t)+(2/7pi)sin(7t)+・・・

宜しくお願いします．