ベクトルの問題です

質問

△OABで、OA↑＝a↑、OB↑＝ｂ↑とおき、｜a↑｜＝√３、｜ｂ↑｜＝２、｜２a↑－ｂ↑｜＝２√２とする。
さらに、△OAB内に点Hをとり、OH↑＝sa↑＋ｔｂ↑とおく。

（１）内積a↑・ｂ↑を求めよ。 答：２

（２）OH↑とｂ↑－a↑が直交するとき、ｓとｔの関係式を求めよ。 答：ｓ＝２ｔ

（３）点Hが△OABの垂心であるとき、ｓとｔの値を求めよ。 答：ｓ＝1/2 ,t＝1/4

（１）、（２）は問題なく解けたのですが、（３）が分かりません。
垂心だから、こんな条件が生まれるなどがあるのでしょうか？
途中式をできるだけ詳しく教えてください。

回答No.1

tomokoich

点Hが垂心ということは
AH⊥OBなので
AH↑=OH↑-OA↑
=(sa↑+tb↑)-a↑
=(s-1)a↑+tb↑

よって
((s-1)a↑+tb↑)×b↑=0が成り立ちます
(s-1)a↑b↑+t｜b↑｜^2=0
2(s-1)+4t=0
2s-2+4t=0

ここで垂心ということは(2)の結果も使えます
s=2tを代入
4t-2+4t=0
8t=2
t=1/4
s=1/2
になります