p-ノルムが三角不等式を満たすことの証明

質問

p=2の場合は簡単なので分かるのですが、pが一般の場合が分からないです。その証明の過程で1≦p<∞でなければならない理由も分かるのでしょうか？回答よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp

R=(全実数)
pを≧1である1つの実数とし,ベクトル空間R^nにおいて,
||x||_p=(Σ_{i=1～n}|x_i|^p)^{1/p}
とすると
1)x∈R^n→||x||_p≧0
2)||x||_p=0→x=0
3)x∈R^n,λ∈R→||λx||_p=|λ|||x||_p
が成り立つ
4)x,y∈R^n→||x+y||_p≦||x||_p+||y||_p
(三角不等式(Minkowskiの不等式))
が成り立つならば,||||_pはR^n上のノルムとなる
p=1のときは明らか。
p>1,q>1,(1/p)+(1/q)=1
x=(x_i)_{i=1～n},y=(y_i)_{i=1～n}∈R^n
z=(z_i=|x_i+y_i|^{p-1})_{i=1～n}
とすると
Σ_{i=1～n}|x_i+y_i|^p≦Σ_{i=1～n}|x_i||x_i+y_i|^{p-1}+Σ_{i=1～n}|y_i||x_i+y_i|^{p-1}
=Σ_{i=1～n}|x_i||z_i|+Σ_{i=1～n}|y_i||z_i|
ヘルダーの不等式
Σ_{i=1～n}|x_i||z_i|≦(||x||_p)(||z||_q)
Σ_{i=1～n}|y_i||z_i|≦(||y||_p)(||z||_q)
が成り立てば
p=(p-1)q
1/q=1-(1/p)
だから
Σ_{i=1～n}|x_i+y_i|^p≦(||x||_p+||y||_p)(Σ_{i=1～n}|x_i+y_i|^{(p-1)q})^{1/q}
=(||x||_p+||y||_p)(Σ_{i=1～n}|x_i+y_i|^p)^{1-1/p}
↓
(Σ_{i=1～n}|x_i+y_i|^p)^{1/p}≦||x||_p+||y||_p
∴
||x+y||_p≦||x||_p+||y||_p
(三角不等式(Minkowskiの不等式))が成り立つ

(*)ヘルダーの不等式
p>1,q>1,(1/p)+(1/q)=1
x=(x_i)_{i=1～n},z=(z_i)_{i=1～n}∈R^n
a=|x_i|/||x||_p
b=|z_i|/||z||_q
f(a)={(a^p)/p}+{(b^q)/q}-ab
とすると
a≧0,b≧0
f'(a)=a^{p-1}-b
だから
0≦a<b^{1/(p-1)}のときf'(a)<0だからf(a)は減少
a>b^{1/(p-1)}のときf'(a)>0だからf(a)は増加
だから
a=b^{1/(p-1)}のとき最小値
f(b^{1/(p-1)})
={((b^{1/(p-1)})^p)/p}+{(b^q)/q}-(b^{1/(p-1)})b
={(b^{p/(p-1)})/p}+{(b^q)/q}-b^{p/(p-1)}
=(1/p-1)b^{p/(p-1)}+{(b^q)/q}
=(-1/q)b^{p/(p-1)}+{(b^q)/q}
=0
となるから
f(a)={(a^p)/p}+{(b^q)/q}-ab≧0
ab≦{(a^p)/p}+{(b^q)/q}
(|x_i|/||x||_p)(|z_i|/||z||_q)≦{((|x_i|/||x||_p)^p)/p}+{(|z_i|/||z||_q)^q)/q}
Σ_{i=1～n}(|x_i|/||x||_p)(|z_i|/||z||_q)≦Σ_{i=1～n}[{((|x_i|/||x||_p)^p)/p}+{(|z_i|/||z||_q)^q)/q}]
∴
Σ_{i=1～n}|x_i||z_i|≦(||x||_p)(||z||_q)
ヘルダーの不等式が成り立つ

回答No.1

africaa

あまり得意でないので間違っていたらすみません。

まず、質問の三角不等式はミンコフスキーの不等式なので、その証明をご覧になれば分かると思います。

次に、p=∞の時がないのはなぜでしょうね…、ただしp=∞の時のノルムをsupノルムで定義すれば、この場合でも不等式は成立すると思います。