複素数について

質問

複素数の２次方程式のところですが
Ｘ2（二乗です）＋ｉＸ＋２＝０が公式に
あてはめて考えたのですがうまくいきません
どうやってとけばいいのでしょうか

回答No.5

keyguy · ベストアンサー

少し書き間違いがあったので修正します。

√は正の実数にしか適用できない記号なので：

これは定義の問題であり本当の定義は
ｚを複素数としたとき
（１）√（ｚ）とはｘ＾２＝ｚを満たすすべての複素数（たかだか２つあるということが簡単に証明できる）ということです。
しかしｚが０正のときだけ例外的慣例的に
（２）√（ｚ）とはｘ＾２＝ｚを満たす正の実数ｘとしているだけです。
だから本来
√（４）は±２でなければならないのです。
とくにｚが複素数の時には正負の区別ができないので選びようがないの（２）のように定義すること自体おかしいのです。
しかし表記が煩雑になるので（２）を妥協して認めているだけなのです。
根の公式を使うときには（１）の定義でやれば全く問題がありません。

（１）の定義にたつと根の公式は
ｘ＾２＋ａ・ｘ＋ｂ＝０の解は
ｘ＝（－ａ＋√（ａ＾２－４・ｂ））／２
であり
ｘ＝（－ａ±√（ａ＾２－４・ｂ））／２
と書くのは筋違いなのです。

また（２）の定義にたっても
ｘ＾２＋ａ・ｘ＋ｂ＝０の解は
ｘ＝－ａ±√（ａ＾２－４・ｂ）
であるとすると
√内が負の場合矛盾し
この公式は「おかしい」と言うことになるのです。

√内が正であろうが負であろうが複素数であろうが
（１）の定義にたつと
問題の答を公式で解くと
ｘ＝（－ｉ＋√（ｉ＾２－４・２））／２
＝（－ｉ＋√（－９））／２
＝（－ｉ＋３・√（－１））／２
＝（－ｉ＋３・ｉ）／２，（－ｉ－３・ｉ）／２
＝ｉ，－２・ｉ

√（－１）はiではなく±ｉで有ることを注意

ｉの厳密な定義から導かれる事の一つに
ｘ＾２＋１＝０を満たす「一つの」複素数がｉであると言うことがあります。（これを定義にしようとするともっと補足しないといけない。）
ｉに対して－ｉもｘ＾２＋１＝０を満たすから
√（－１）＝±ｉです。
くれぐれもｉの定義はｘ＾２＋１＝０を満たすすべての複素数と考えてはいけない。

√（２）が｜√（２）｜の意味で使えないのは不便なので√内が正の時には２つのうち正の方だけとっているのです。

回答No.4

keyguy

√は正の実数にしか適用できない記号なので：

これは定義の問題であり本当の定義は
ｚを複素数としたとき
（１）√（ｚ）とはｘ＾２＝ｚを満たすすべての複素数（たかだか２つあるということが簡単に証明できる）ということです。
しかしｚが０正のときだけ例外的慣例的に
（２）√（ｚ）とはｘ＾２＝ｚを満たす正の実数ｘとしているだけです。
だから本来
√（４）は±２でなければならないのです。
とくにｚが複素数の時には正負の区別ができないので選びようがないの（２）のように定義すること自体おかしいのです。
しかし表記が煩雑になるので（２）を妥協して認めているだけなのです。
根の公式を使うときには（１）の定義でやれば全く問題がありません。

（１）の定義にたつと根の公式は
ｘ＾２＋ａ・ｘ＋ｂ＝０の解は
ｘ＝－ａ＋√（ａ＾２－４・ｂ）
であり
ｘ＝－ａ±√（ａ＾２－４・ｂ）
と書くのは筋違いなのです。

また（２）の定義にたっても
ｘ＾２＋ａ・ｘ＋ｂ＝０の解は
ｘ＝－ａ±√（ａ＾２－４・ｂ）
であるとすると
√内が負の場合矛盾し
この公式は「おかしい」と言うことになるのです。

√内が正であろうが負であろうが複素数であろうが
（１）の定義にたつと
問題の答を公式で解くと
ｘ＝（－ｉ＋√（ｉ＾２－４・２））／２
＝（－ｉ＋√（－９））／２
＝（－ｉ＋３・√（－１））／２
＝（－ｉ＋３・ｉ）／２，（－ｉ－３・ｉ）／２
＝ｉ，－２・ｉ

√（－１）はiではなく±ｉで有ることを注意

ｉの厳密な定義（示さない）によると
ｘ＾２＋１＝０を満たす「一つの」複素数がｉなのである。
ｉに対して－ｉもｘ＾２＋１＝０を満たすから
√（－１）＝±ｉである。
くれぐれもｉの定義はｘ＾２＋１＝０を満たすすべての複素数と考えてはいけない。

回答No.3

Mell-Lily

次のように解くこともできます。

【Question】
二次方程式
　x^2+ix+2=0
の解を求めなさい。

【Answer】
　x=a+bi (a,bは、実数)
とおけば、解くべき方程式は、
　(a+bi)^2+i(a+bi)+2=0
　∴ a^2+2abi-b^2+ai-b+2=0
　∴ (a^2-b^2-b+2)+(2ab+a)i=0.
よって、
　a^2-b^2-b+2=0, ・・・(1)
　2ab+a=0. ・・・(2)
(2)より、
　a(2b+1)=0
　∴ a=0,b=-1/2.
a=0のとき、(1)より、
　-b^2-b+2=0
　∴ b^2+b-2=0
　∴ (b+2)(b-1)=0
　∴ b=-2,1.
b=-1/2のとき、(1)より、
　a^2-(-1/2)^2-(-1/2)+2=0
　∴ a^2-1/4+1/2+2=0
　∴ a^2+9/4=0
　∴ a^2=-9/4.
aは、実数であるから、これは、不可。以上より、
　x=-2i,i ・・・(Ans.)

回答No.2

waseda2003

確かに，√は正の実数にしか適用できない記号なので，複素数係数の２次方程式に解の公式は建前上使えません。
ただし，解の公式のもともとの内容（証明）を思い起こせば，「±√」の部分を「２つの平方根」と解釈すれば，公式が適用できて

X = (-i±√(-9))/2 = (-1±3)i/2 = i，-2i

と求められます。

直接の質問にお答えすると上記のようになりますが，複素数係数の場合に解の公式でうまくいくのは，実はまれです。
一般には，解の公式の証明に戻って平方完成し，極形式を用いて平方根を求め，A^2-B^2=(A+B)(A-B)の形に直すのが基本です。

X^2+iX+2 = (X+i/2)^2 -(i/2)^2+2
= (X+i/2)^2 +9/4
= (X+i/2)^2 -(3i/2)^2
= (X+i/2+3i/2)(X+i/2-3i/2)
= (X+2i)(X-i)

X^2-2X-(√3)i = (X-1)^2 -1-(√3)i
= (X-1)^2 -2(cos 60°+i sin 60°)
= (X-1)^2 -{√2 (cos 30°+i sin 30°)}^2
（以下略）

回答No.1

zetafunction

因数分解をして,
(x-i)(x+2i)=0
iff x=i, -2i