変えるべきか、変えないべきか

質問

とある本に次のような問題がありました。

A、B、Cの3つの箱がある。
「1つだけ100ドル入っている。当てたらあげるよ」
と言われた。
彼はどの箱に100ドルが入っているか知っている。
あなたは仮にAを選んだとする。すると友人はCを開け、
Cに何も入っていないことを示した。そして、
「今なら、1ドル払えばBに変えてもいいよ」
と言われた。さて、あなたはBに変えるべきだろうか？

そして、この問題に対する答えが次のように書いてありました。

初めにAを選んだとき、A、B、Cに100ドルが入っている確率は
それぞれ1/3である。ということは、Aに入っている確率は1/3、
BまたはCにはいっている確率は2/3である。その後、友人はCに
何も入っていないことを示した。BまたはCに入っている確率は
2/3であり、Cに入っていなかったのだから、Bに入っているいる
確率はこの時点で2/3となる。よって、1ドル払っても変えるべき
である。

この解答に私は腑に落ちませんでした。
私のは次のように考えました。

初めの時点ではA、B、Cに入っている確率は1/3である。
その後、Cに入っていないことが判明した時点で、A、Bに
入っている確率は1/2となる。
このまま箱を変えなかった場合、期待値は
(0.5*0+0.5*100)=50
となり、箱を変えた場合は
{0.5*(0-1)+0.5*(100-1)}=49
となり、変えない方が期待値が大きい。よって、変えるべではない。

本に書いてあった内容と違う結論になりましたが、本当に
本に書いてある考え方で正しいのでしょうか。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.10

noname#24477

私がこの問題を自分で納得するときにこんな例題を考えました。

ダーツみたいな的を考えてください。
的を面積で三等分します。Ａ，Ｂ，Ｃとします。
Ａに当たったらあなたの勝ち。Ｂ，Ｃに当たったら私の
勝ち。これでどうですか？
え、不公平？じゃ矢が当たった後でＢ．Ｃのどちらかを
（当たっていないほうを）隠しますから。どうですか？

矢が当たった後で的を隠してくれても確率には影響しません。
ここでポイントはＢ，Ｃの「必ず」当たっていないほうを隠せる
ということです。公平では有りません。
ＢまたはＣが当たっている確率は2/3です。
１つ隠したからと言ってＡの確率がアップしますか？

回答No.9

liar_adan

訂正：

＞さて、そうしたところで、『彼』が、残りの箱200個のうちから、カラの箱を次々と開けていきました。
＞100個の箱を開け、開けていない箱が100個残りました。

のあたりをそれぞれ、「残りの箱600個」、
「300個の箱を開け、開けていない箱が300個残りました。」、あとその下も同様に訂正してください。

※カッコ悪いな。

回答No.8

liar_adan

まだ混乱していらっしゃる人が多いので、別なやり方で説明してみます。

3つの箱が一組だから考えにくいので、300組にして考えてみます。

3個一組の箱が300組あるとします。この中から『あなた』が選ぶのですが、
入っている箱がわからないので、確率は1/3です。
100個ぐらいは当たるはずです。数個の出入りはあるかもしれないけど。

選んだ箱は手元に引き寄せるとします。
そうすると、だいたい100ドル×100個ぐらいの金が、『あなた』の手元に来たはずです。
『彼』の手元には100ドル×200個ぐらいの金が残っています。
ここで話を止めて、『あなた』が手元にある箱を全部開いてみれば、
現金として約100ドル×100の金が手にはいるのです。
ここまではいいですね。

さて、そうしたところで、『彼』が、残りの箱200個のうちから、カラの箱を次々と開けていきました。
『彼』は当たりを知っているので、カラの箱を開けられるのは当然です。
100個の箱を開け、開けていない箱が100個残りました。

開けていない箱100個の中には、依然として、100ドル×200個ぐらいの金が入っているはずです。

さて、ここで、『あなた』の持っている箱100個と、
『彼』が持っていてまだ開けていない箱100個をとりかえるべきか？
当然取り替えるべきです。だって100ドル×100と、100ドル×200で、倍違いますから…。
(1ドル×300払っても替えるべきです)

これでもわからない人は、実際に実験してみてください。
30組ぐらいだとまだわからないかもしれないけど、
60組(60回の繰り返しでもよい)ぐらいやると、
たぶんはっきりとした傾向が出ますから。

回答No.7

sokamone

ぼくもonuさんと同じように、その模範回答には納得できませんね。友人が箱Ｃを開けた時点で「わたし」はＡかＢかを選べるんだから、そのときの確率はＡでもＢでも同じで２分の１ですよ。Ｂに変えないということは、実際は、その時点でＡを選び直したということになるので、Ｂに変えないということをＡかＢかの選択はしていないと受け取り、最初のまんまで確率はなにも変わらない、とする理屈のほうがおかしいですね。

出題者のいいたいことはわかるけど、出題内容が出題の意図を正しく反映していないとぼくは思いますね。ぼくならこうしますね。

A、B、Cの3つの箱がある。
「1つだけ100ドル入っている。当てたらあげるよ」
と言われた。
彼はどの箱に100ドルが入っているか知っている。
彼は言いました。
「きみはふたつの方法で選ぶ権利がある。
ひとつは、ずばりその箱を選ぶこと、
もうひとつは、最初にきみに箱を選んでもらった後、
ぼくは他の箱の100ドルが入っていない方を君に教えるから、
きみはその残りの箱を最終的には選ばないといけない。」
さて、あなたは、どちらの方法で選ぶほうが得だと思いますか？

このような問題なら、その出題者の回答は納得できますが…。こういう問題大っきらいです＾＾。

回答No.6

nabeyann

最初に選んだ箱が当たっていても当たっていなくても、 必ずカラ箱を開けてみせる条件なら、
最初の選択で、確立は1/2だよ。
ディラーの頭の中にもう一つの空箱が有り、空箱・空箱の組と当り箱・空箱の組の、二者択一させただけ。
次に架空の空箱と空箱を開けて見せる。
客に、最初の選択が1/3、1ドル払う事によって確率が倍になると錯覚させて、
　　1ドルを寺銭として、確保。
　　　　　この後は、削除シテオク！

回答No.5

kiriburi

liar_adanさんの回答にあるように、『彼』が箱を開ける条件が示されていません。
『彼』が必ず箱を開けるという条件の下では、本の解答で良いと思います。
『彼』が箱を開けるかどうかの条件がない場合、『彼』の最善の戦略は、
・『あなた』が$100の箱を取ったときは箱を開ける
・『あなた』がハズレを取ったときは箱を開けない
ことになり、『あなた』は箱を変えるべきではありません。
もちろん、この場合の当りの確率は1/3です。

回答No.4

noname#24477

超有名問題です。
私も最初聞いたときは間違えて、納得できるまでずいぶん
時間がかかりました。

最初にどの箱を選んでも、残り２つには必ずはずれの箱が
あり、出題者はどの箱が当たりか知っているので
必ずはずれの箱を見せられることがポイント。

もっと極端に１００個の箱に当たりが１つだけあったとします。
あなたが１つ選んだとき、残り９９個に当たりがある確率
のほうが高いでしょう。
しかし出題者は９８個まではずれの箱を見せることが出来ます。
さあこれで１：１（？）・・・・違いますね。
残っている箱が当たっている可能性のほうが高いと思いませんか？私なら９９個から空箱をはずしていって残った１
個のほうを取ります。

元の３個の箱に話を戻して、空箱を含めて２個選ぶか、1個
選ぶかという選択なのです。
当然２個選ぶほうが確率は高い。
後から空箱を見せられても確率は変わりません。
ということで1ドルぐらいなら交換するほうが得。
正確には期待値を計算することになるでしょう。
100/3と200/3になるので1ドルくらいは、です。

（ただし交換してハズレだったらショックは倍増するでしょうが
それは別の話）

回答No.3

ranx

過去にこんな質問があって、
賑わいを見せていました。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=392423

回答No.2

MetalRack

残った２個の開け方がポイントだと思います。
無作為に開けるのではなく、空の方をわざと開けるのですから、その時点で、1/2の確立になると思います。
1/3というのは、当初の条件での確立で、状況が変化すれば変わるのに、変えないで話し進めて、確立が高くなるような回答は納得できないですよね。
私も、不思議です。

回答No.1

liar_adan

問題に少し不完全なところがあります。
「最初に選んだ箱が当たっていても当たっていなくても、
カラ箱を開けてみせる」という条件がついてないと
完全ではありません。
(それが無いといくらでもインチキができます)

で、そういう条件だった場合、
本の言うことが正しいと思います。

まず、最初の箱を選んだ時点で、当たる確率は1/3です。
外れる確率は2/3。
もともと、当たっている確率は低いのです。ここがポイントです。

ここで、カラ箱を見た後に変えるか変えないかを考えてみます。

変えない場合：
3回に1回---もとの箱が当たり。
3回に2回---もとの箱がハズレ。

変えた場合：
3回に1回---もとの箱が当たり。変えた箱はハズレ。
3回に2回---もとの箱がハズレ。変えた箱は当たり。

となり、やっぱり変えた方が有利になります。