変えるべきか、変えないべきか

質問

とある本に次のような問題がありました。

A、B、Cの3つの箱がある。
「1つだけ100ドル入っている。当てたらあげるよ」
と言われた。
彼はどの箱に100ドルが入っているか知っている。
あなたは仮にAを選んだとする。すると友人はCを開け、
Cに何も入っていないことを示した。そして、
「今なら、1ドル払えばBに変えてもいいよ」
と言われた。さて、あなたはBに変えるべきだろうか？

そして、この問題に対する答えが次のように書いてありました。

初めにAを選んだとき、A、B、Cに100ドルが入っている確率は
それぞれ1/3である。ということは、Aに入っている確率は1/3、
BまたはCにはいっている確率は2/3である。その後、友人はCに
何も入っていないことを示した。BまたはCに入っている確率は
2/3であり、Cに入っていなかったのだから、Bに入っているいる
確率はこの時点で2/3となる。よって、1ドル払っても変えるべき
である。

この解答に私は腑に落ちませんでした。
私のは次のように考えました。

初めの時点ではA、B、Cに入っている確率は1/3である。
その後、Cに入っていないことが判明した時点で、A、Bに
入っている確率は1/2となる。
このまま箱を変えなかった場合、期待値は
(0.5*0+0.5*100)=50
となり、箱を変えた場合は
{0.5*(0-1)+0.5*(100-1)}=49
となり、変えない方が期待値が大きい。よって、変えるべではない。

本に書いてあった内容と違う結論になりましたが、本当に
本に書いてある考え方で正しいのでしょうか。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.20

nabeyann

＃19さん、Ｎｏ.18は、あなたのＮｏ.16に対する反論では有りませんよ。
ただ、質問者が疑問に思っているだろうと、思った事を最大
α・β・γを使って、表してみただけです。
　　誤解させたなら、ごめんね！

＞確率の再配分って何？根本的におかしくない？
再配分されないなら、Ａ箱もＢ箱も、α・βの確率は各1/3のまま？
　・・・・・・・・・・
　　　やめた！

ぼくの、本来の興味は、この問題を見たとき思いついた　
　Ｎｏ.7&14の前半部分に対し、どんな反論が出るかです。
　　（新たな板を立てるほどでもないので！）　
　　ナンの反応も無いので、・・・・・・・

確率変る方に、組してみました。
　　でも、飽きてきた。

本来のこの質問に対する回答は、

　Ａ箱のハズレル確率は、2/3
　Ｂ＆Ｃ箱グループのハズレル確率は、　　
　　　　2/3+2/3＝4/3　＞1
　　必ず、1個のハズレ箱が有る。　
　ハズレ箱Ｃが開示されたから
　　　　　　4/3－1
　∴Ｂ箱のハズレル確率は、1/3
よって、Ａ箱のハズレル確率は、Ｂ箱の倍である。

回答No.19

yuusukekyouju

NO12です。
蛇足ですが,視点を変えて友人の立場にたって
あなたが例えばAの箱を選び、友人は残りの箱B、Cのうち空の箱を1つ取り除き、あなたは最後に残った箱に必ず変更する場合。

あなたが最初に選んだAがあたりの場合は、あなたは必ず変更するので、友人は100とられないことになります。この確率は1/3

あなたが最初に選んだAがはずれの場合（BまたはCがあたりの場合）は、あなたは必ず変更し、なおかつ友人が空箱を除くので、あなたはあたりの箱を選び、友人は100とられることになります。この確率は2/3

つまり、必ず変更するという条件ならば、友人は1/3の確率（あなたが最初にあたり箱を選ぶ確率）で得をし、2/3の確率（あなたが最初にはずれの箱を選ぶ確率）で損をします。

もうおわかりですね。変えれば友人は損をし、あなたは得をする確率が高くなります。

回答No.18

ranx

> ここで、γの位置が公開された（＝Ｃ箱）
そんなことしていませんよ。
No.16の例で(2)ならγはＢですし、(4)ならγはＡです。
確率の再配分って何？
根本的におかしくない？

> ここでは、まだ　α・βのどちらが当りかは判らない。　
判らないのは自分にとってそうであるというだけで、
それぞれについて当たりである場合を計算しています。

回答No.17

nabeyann

＃15＆16さん、　　そう簡単に止めは刺されませんよ（笑）

　　　α・β・γ　ねぇ～

選んだＡ箱（α・β・γのそれぞれが入っている、各確立は1/3）
　　Ｂ箱　　（α・β・γのそれぞれが入っている、各確立は1/3）
　Ｃ箱　　（α・β・γのそれぞれが入っている、各確立は1/3）
ここで、γの位置が公開された（＝Ｃ箱）
　Ａ＆Ｂ箱のγの確率がＣ箱に収束して　１　になる。
Ｃ箱のα・βの各確率はＡ箱とＢ箱に均等に再配分されると思うのだが、
なぜか、α・βの各確率が、
　　1/3と2/3
　　2/3と1/3の組み合わせに成るように、
　　　　　選択配分されると言う。
Ａ・Ｂ＆α・βの組み合わせの基準は、何処にあるんだろう？
ここでは、まだ　α・βのどちらが当りかは判らない。

回答No.16

jmh

私の考え:
変えて「＄１００」の確率は、最初に「はずれ」を選んでしまう確率に等しいと思います。最初に「はずれ」を選んでしまったとき、そのときに限り選択を変更すると「＄１００」だから。
でも、自信なくなりました。

回答No.15

ranx

すみません。No.15の回答がおかしいので、書き直します。
最初あった箱をα・β・γとし、αを当りとします。
あなたの選択した箱をＡとし、相手の選択した箱をＢとすると
残りがはずれとなる組み合わせは次の通りです。
(1) Ａ＝α、Ｂ＝β
(2) Ａ＝α、Ｂ＝γ
(3) Ａ＝β、Ｂ＝α
(4) Ａ＝γ、Ｂ＝α
Ａ＝αが選択を変えない方が良いケース、Ｂ＝αは選択を変えた
方が良いケースです。二通りずつで同じであるように見えます。
しかし、Ａの選択が自由であるのに対し、Ｂの選択はＡに従属します。
ということは、(1)と(2)は合わせて1/3の確率であることになります。
すると
(1) 1/6
(2) 1/6
(3) 1/3
(4) 1/3
となり、選択を変えない方が良いケースは、1/3の確率しかないことに
なります。

回答No.14

ranx

No.3で回答した者ですが、参考URL、誰も見てくれていないのかな。
では、No.14さんにとどめをさしましょう。（笑）

> 例えば、（あなたがＡを選び、相手がＢを選ぶ）当然Ｃ箱を開けたら、空だった。
あなたが選んだＡがはずれだったとしましょう。この場合、相手に選択の余地は
ありません。あたりを選んで、それがＢとなります。
あなたが選んだＡがあたりだったとしましょう。この場合、相手には選択の余地が
生じます。残っていた箱を仮にα・βとすうと、αを選んでＢとした場合とβを
選んでＢとした場合の二通りがありうるわけです。ですから、後者のケースを単純に
一通りと考えて前者と比較することはできないのです。
結局
　Ａ（はずれ）　Ｂ（当り）　Ｃ（はずれ）
　Ａ（当り）　Ｂ＝α（はずれ）　Ｃ＝β（はずれ）
　Ａ（当り）　Ｂ＝β（はずれ）　Ｃ＝α（はずれ）
の三通りとなり、あなたが選択を変えない方が良いケースは一通り、変えた方が良い
ケースは二通りとなります。
やはり、選択を変えた方が、当たる確立は倍になるのです

回答No.13

nabeyann

選ばれなかった箱のうちから必ず空箱を開示する条件なら、最初から二者択一論を展開しているＮｏ７です。
最初に、前答の補足しますね。
問題は、一見三者択一のようですが、再選択を提示する前に、必ず空箱を開示する条件下では、たとえどの様に並べられていようと、下記のような組合わせになり、

　　当り箱　　　はずれ箱
　はずれ箱　　架空のはずれ箱

上下又は、左右の組み合わせの中から、どちらかの組かを選ばせ、
条件により、当りを含む組のはずれ箱と架空のはずれ箱を、開示。

次、別な回答
　２人の心理戦を無視すると、

空箱を開示前は、Ａ，Ｂ，Ｃの各箱から見たら、
他の二つの箱の1つに、当りの含まれる確率は（1/3+1/3＝）2/3、
　　　Ａ箱から見れば、ＢorC箱が当る確率は2/3
　　Ｂ箱から見れば、ＡorC箱が当る確率は2/3
　Ｃ箱から見れば、ＡorＢ箱が当る確率は2/3
∴空箱を開示前に、選らんだ箱と他の二つの箱を１：２で交換ならあたる確率は倍になる。
　交換後に、片方を開けたら空だった、他の一つの当る確率は2/3　

※問題は、交換を提案する前に空箱を開示している。
　（相手が、残り二つの箱を所有してると考えるから、おかしくなる？。）
この場合、２人で１箱づつ選び
　　（当りが判っている方が、後から選択する）、
残った箱を、相手が開けたら空だった。
　（どれが、当りか判っているから必ず空箱を開ける。）
　　　と、言う事と同じになり、
　　相手はたとえ自分がが当たっていても、１ドルで交換しても良いと必ず言う。と、考えるべき！？

例えば、（あなたがＡを選び、相手がＢを選ぶ）当然Ｃ箱を開けたら、空だった。
｛残りの箱の当る確率＝2/3－0　この計算式（本の解説）が正しいとすると｝
　　Ａ箱から見れば、Ｂ箱が当る確率は2/3
　　　　Ｂ箱から見れば、Ａ箱が当る確率は2/3

　　だから、Ａ、Ｂどちらの箱を選んでたとしても、当る確率は同じ（＝1/2）。

あなたは、印刷された物（本）を、素直に信じるタイプですか？

本の解答はうんぬんが無ければ、皆さん（自分は本と同じ解説？）別の回答を寄せていた気がスルンデスガ！
＃１２さんの説明に、納得しかけている自分が、いる。でも！
火に油を注ぐ行為かな？

回答No.12

sokamone

たびたびすみません。ＮＯ．８で発言した者です。
ＮＯ．８はまちがいでしたね。どうもすみません。
まあ、onuさんと同じ誤解をしていたということで
どういうところでしくじったかがちゃんと説明でき
そうです（ははは、笑ってごまかす）。

わたしのした誤解は、「質問」の友人がＣの箱を開けた
時点で、それ以前の「わたし」の記憶がふっとんで消えて
しまったのと同じだと思ったということでした。
実際には、そんなことはなく、「わたし」は友人が残りの
ふたつから空の箱をのぞくという操作をちゃんと見ていて
記憶しているわけですから、その分情報が多いわけですね。
例えば、その友人が残りのふたつのうちから空の箱Ｃをのぞいた直後に、第３者がやってきたとして、その人が残っている箱を見るとＡもＢも１００ドル入っている確率は等しい。けど、「わたし」がみると、Ｂのほうが確率が高い。
これで納得していただけたでしょうか。え？もうとっくに納得している？これは失礼しました＾＾；。

回答No.11

yuusukekyouju

＞初めにAを選んだとき、A、B、Cに100ドルが入っている確率は それぞれ1/3である。ということは、Aに入っている確率は1/3

このときの期待値は、100×（1/3）＝33.333です。

＞彼はどの箱に100ドルが入っているか知っている。
あなたは仮にAを選んだとする。すると友人はCを開け、
Cに何も入っていないことを示した。

友人はどの箱に100ドルがはいっているか知っているので、残りの2つの箱から空箱を必ず選ぶことが出来ます。つまり友人が空箱をしめすことによりAを選んだときの期待値は変化しないということです。
ですからBにかえれば期待値は
100-33.333・・＝66.666・・
となり変えたほうが有利となります。

また、違う視点で考えて見ましょう。
友人が残った箱のうち無作為にひとつ選んでそれを取り除き、選んだ箱を変えてもいいと、言った場合これは明らかに、変えても変えなくても期待値は同じになりますね。
でも、友人は空箱を取り除いて変えてもいいと、言ったのです。明らかに空箱を取り除いてもらったほうが有利になるのではないですか。