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9の倍数の問題

10進法で a_n a_n-1 ・・・a_2 a_1 と表わされるNが9の倍数、あるいは11の倍数であるか調べることを考える。 (1)a_n+a_n-1+・・・+a_2+a_1 が9の倍数のときNも9の倍数であることを示せ。 (2)Nが11の倍数であることを調べるには、a_n+a_n-1+・・・+a_2+a_1の代わりに、なにが11の倍数であるかを調べれば良いと思うか、理由と共に答えよ。 (3)10進法で1 2 a_4 a_3 5 6と表わされる数が99の倍数となるようなすべての組(a_4,a_3)を答えよ。 さっぱり分かりません。 どなたか教えてください。 よろしくお願い致します。

みんなの回答

  • take_5
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回答No.4

前の問題の回答をここに書いておく。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4422615.html 君の計算違いだろうが、n=(a-2)/3。m^2=2(a+1)/3。 先ず、m^2≧0から a+1≧0. 次に、判別式≧0から a-5≦0. 従って、-1≦a≦5 となる。

show-ten
質問者

お礼

回答ありがとうございました。 計算ミスしていました。 今まで大変失礼しました。

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回答No.3

(2)Nが11の倍数であることを考えるには 10=11-1 100=99+1=11*9+1 1000=1001-1=11*91-1 10000=9999+1=11*909+1 を使います。 たとえば、abcdeの5桁の数字なら、上の関係を当てはめて abcde(10進数)=a(11*909+1)+b(11*91-1)+c(11*9+1)+d(11-1)+e =11*(a*909+b*91+c*9+d*1)+(a-b+c-d+e) となるため、1の位から一つおきに取った数字の和と10の位から一つおきに取った数字の和の差が11で割り切れればいいです。この考え方は5桁に限らず一般化できます。

show-ten
質問者

補足

回答ありがとうございます。 n=2k+1の時 N=a_1+a_2(11-1)+a_3(99+1)+a_3(1001-1)+a_4(9999+1)+...+a_n-1(99...9+1)+a_n(100...1-1) N={a_1-a_2+a_3-a_4+...+a_n-1-a_n}+11*(a_2+9*a_3+91+a_4*909+...a_n-1*$+a_n*$$) a_1-a_2+a_3-a_4+...+a_n-1-a_n=11t (t=0,1,2,...n) n=2kの時 N=a_1+a_2(11-1)+a_3(99+1)+a_3(1001-1)+a_4(9999+1)+...+a_n-1(100...1-1)+a_n(999...9+1) N={a_1-a_2+a_3-a_4+...-a_n-1+a_n}+11*(a_2+9*a_3+91+a_4*909+...a_n-1*$+a_n*$$) より a_1-a_2+a_3-a_4+...-a_n-1+a_n=11t (t=0,1,2,...n) にならなければならない。 (3) nは偶数なので 6-5+a_3-a_4+2-1=11t a_3-a_4=11t-2 a_3-a_4=-2 (∵a_n=0~9) (a_3,a_4)=(0,2),(1,3),(2,4),(3,5),(4,6,)(5,7),(6,8),(7,9) これは11の倍数となる。 9の倍数は 6+5+a_3+a_4+2+1=9s a_3+a_4=9s-14 a_3+a_4=4 (s=2) (a_3,a_4)=(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0) a_3+a_4=13 (s=3) (a_3,a_4)=(4,9),(5,8),(6,7),(7,6),(8,5),(9,4) よって99の倍数になるのは (a_3,a_4)=(3,1) のみとなる。 よって求める数は 123156 となる。 どうでしょうか?

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  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.2

自力で考えた解答を少しでも補足に書くこと。 (1)だけ。 (1)a_n a_n-1 ・・・a_2 a_1 =a_n*10^(n-1)+ a_(n-1)*10^(n-2)+ ・・・+a_2*10^1+a_1*10^0 =a_n(99...9+1)+a_(n-1)(9...9+1)+ ・・・+a_2(9+1)+a_1 =a_n+a_n-1+ ・・・+a_2+a_1 +a_n*99...9+a_n-1*9...9+ ・・・+a_2*9 =a_n+a_n-1+ ・・・+a_2+a_1 +9(a_n*11...1+a_n-1*1...+ ・・・+a_2*1) 二行目は9の倍数なので、一行目が9の倍数なら、元の10進数は9の倍数といえる。 後は自助努力で考えて下さい。(丸解答は削除対象)

show-ten
質問者

補足

回答ありがとうございます。 >=a_n(99...9+1)+a_(n-1)(9...9+1)+ ・・・+a_2(9+1)+a_1 の部分の、 99...9は9がn-1個 9...9は9がn-2個あるということですよね。 何とか理解できました。 (2)は a_n*10^(n-1)+ a_(n-1)*10^(n-2)+ ・・・+a_2*10^1+a_1*10^0 =a_n(99...9+1)+a_(n-1)(9...9+1)+ ・・・+a_2(9+1)+a_1 =a_n+a_n-1+ ・・・+a_2+a_1 +9(a_n*11...1+a_n-1*1...+ ・・・+a_2*1) =a_n+a_n-1+ ・・・+a_2+a_1+9*a_2 +9*11(a_n*10...0+a_n-1*10...+ ・・・+a_3*1) ということで a_n+a_n-1+ ・・・+10a_2+a_1 が11の倍数であるか調べれば良いのでしょうか?

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回答No.1

N_n = a_n*(10^n)+ a_n-1*(10^n-1)+ ・・・a_2*10+ a_1 = 9* (a_n * 10^(n-1)) + a_n*10^(n-1) + 9 * (a_n-1 * 10^(n-2) + a_n-1 *10^(n-2) + ・・・ + 9*a_2 + a_2 + a_1 = (9の倍数) + N_n-1 よってもしN_n-1が9の倍数であれば N_nは9の倍数。 あとは数学的帰納法です。念のため^ はべき乗記号です。 (3^2 = 9) (2) については(1)がわかったら教えます。(1)がわからなければ絶対にわからないので。

show-ten
質問者

補足

回答ありがとうございます。 申し訳ございませんが、2行目からの >= 9* (a_n * 10^(n-1)) + a_n*10^(n-1) + 9 * (a_n-1 * 10^(n-2) + a_n-1 *10^(n-2) + ・・・ + 9*a_2 + a_2 + a_1 がよく分からないのですが・・・。 もしよければもう少しヒントを下さい。 よろしくお願い致します。

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