媒介変数を用いた面積

質問

平面上を運動する点Ｐ(x,y)の時刻tでのx座標とy座標が
x=(e^t－e^-t)/2
y=(e^t+e^-t)/2
で表されている。

このとき∫(0→x) y dxを計算する際、x=(e^u－e^-u)/2と置いて
計算しなければダメでしょうか？
x=(e^t－e^-t)/2だからx:0→(e^t－e^-t)/2のときt:0→tとして
∫(0→t)y dxはおかしいですか？

自分でもちょっと変かなとは思いますが、何がいけないのかはっきり分かりません。
お願いします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> このとき∫(0→x) y dxを計算する際、x=(e^u－e^-u)/2と置いて
> 計算しなければダメでしょうか？

ここの意味がよく分からないです。

> x=(e^t－e^-t)/2だからx:0→(e^t－e^-t)/2のときt:0→tとして
> ∫(0→t)y dxはおかしいですか？

xで積分するのに「積分範囲がtの範囲」というのは変では無いでしょうか。

例えばy = x^2とx軸、x = 0とx = 3で囲まれた領域の面積を計算する時は
∫(0 → 3) x^2 dxで計算します。
これは「xで積分」しており、積分範囲は「xの範囲」ですよね。
これの積分範囲をyの範囲に変えて、∫(0 → 9) x^2 dxとしても
同じ計算結果が得られるでしょうか？
あるいはt = 3xと置換し(この場合、xが0→3ならtは0→1)、
∫(0 → 1) x^2 dxとしても同じ計算結果が得られるでしょうか？
得られませんよね。

xで積分する時はちゃんと「xの範囲」を使って積分しないと駄目です。
先ほどのt = 3xというような置換をした上で面積をちゃんと出したいなら、

∫(0 → 3) x^2 dx
= ∫(0 → 1) (1/9)t^2 (dx/dt) dt

というように、
積分範囲を「tの範囲」に変え、
さらに「tで積分させる式」に変換しないと駄目です。

お礼

>xで積分するのに「積分範囲がtの範囲」というのは変では無いでしょうか。

>積分範囲を「tの範囲」に変え、
>さらに「tで積分させる式」に変換しないと駄目です。

なるほどです。とても良く分かりました。ありがとうございました＾＾

回答No.2

info22_

>このとき∫(0→x) y dxを計算する際、x=(e^u－e^-u)/2と置いて
計算しなければダメでしょうか？

ダメというわけではないでしょう。

たとえば1つの解法として
x=(e^t－e^(-t))/2=sinh(t)…(1)
y=(e^t+e^(-t))/2=cosh(t)…(2)
tを消去
y^2-x^2=1…(3)
y>=1より
y=√(1+x^2)…(4)
I=∫(0→x) y dx=∫(0→x) √(1+x^2) dx
=(x/2)√(1+x^2)+(1/2)log(x+√(1+x^2)) …(☆)
or
=(x/2)√(1+x^2)+(1/2)sinh^-1(x)

>x=(e^t－e^-t)/2だからx:0→(e^t－e^-t)/2のときt:0→tとして
∫(0→t)y dxはおかしいですか？

ダメです。
素直に変数変換しましょう。
(1)から
t=log(x+√(1+x^2))なので
「x:0→x」は 「t→log{x+√(1+x^2)}」
(1)(2)を代入して
ydx=cosh(t)d(sinh(t))=cosh^2(t)dt=(1/2){1+cosh(2t)}dt
I=∫(0→x) y dx
=(1/2)∫(0→log{x+√(1+x^2)}) {1+cosh(2t)}dt
=(1/2)[t+(1/2)sinh(2t)] (t=log{x+√(1+x^2)})
=(1/2)log{x+√(1+x^2)}+(1/4)sinh{2log(x+√(1+x^2))}
公式 e^(logA)=A を使って
=(1/2)log{x+√(1+x^2)}+(1/4)(1/2){(x+√(1+x^2))^2-1/(x+√(1+x^2)^2}
=(1/2)log{x+√(1+x^2)}+(1/4)(1/2){(x+√(1+x^2))^2-(√(1+x^2)-x)^2}
=(1/2)log{x+√(1+x^2)}+(1/2)x√(1+x^2)

上の(☆)の積分結果と一致。

双曲線関数cosh,sinhについては参考URLを参照して下さい。

双曲線関数を使いたくなければ
(1),(2)を直接代入して
ydx=(e^t+e^(-t))/2*d{(e^t-e^(-t))/2}={(e^t+e^(-t))/2}^2dt
=(1/4){e^(2t)+e^(-2t)+2}dt
I=∫(0→x) y dx
=(1/4)∫(0→log{x+√(1+x^2)}) {e^(2t)+e^(-2t)+2}dt
=(1/4)[e^(2t)/2-e^(-2t)/2+2t](t=log{x+√(1+x^2)})
公式 e^(logA)=A を使って
=(1/4)(1/2){(x+√(1+x^2))^2-1/(x+√(1+x^2)^2}+(1/2)log{x+√(1+x^2)}
=(1/4)(1/2){(x+√(1+x^2))^2-(√(1+x^2)-x)^2}+(1/2)log{x+√(1+x^2)}
=(1/2)x√(1+x^2)+(1/2)log{x+√(1+x^2)}

先の（☆）の結果と一致。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/双曲線関数

お礼

双曲線関数を使う方法もあるのですね、勉強になりました。
長文の回答とても有り難いのですが、今回はR_Earlさんをベストアンサーとさせて頂きます。
ありがとうございました＾＾