環論 イデアル

質問

雪江明彦著書の「環と体とガロア理論」で勉強している者です。p42の内容(添付写真)で分からない点があり質問させて頂きました。
命題1.8.17の証明文ですが、
x/s∈Iなら、(イデアルの定義から)(s/1)(x/s)=x/1∈Iである。
よって、x∈I∩Aである。(これは上部に記載ある通りI∩Aはπ^-1(I)の事なので、x∈π^-1(I)と理解してます)
ここまでは分かるのですが、その後の従って、の文が良く分からず、
そもそも(I∩A)S^-1A(つまりπ^-1(I)S^-1A)がどう意味なのか理解出来ていません。
もう一つ、上部での言い回しの部分ですが、なんでπ^-1(J)をJ∩Aなどと書くようにしたかもどなたか分かる方ご教授頂きたいです。

お手数おかけしますが、何卒よろしくお願いいたします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

数学によくある「記号の濫用」があると、意味が取りづらいですよね...
さて：

> そもそも(I∩A)S^-1A(つまりπ^-1(I)S^-1A)がどう意味なのか理解出来ていません。

I∩A = π^{-1}(I)をKと書いておくと、KはAのイデアルになるので、K(S^{-1} A)は書いてある通り π(K) (S^{-1}A)の事です。π(K)は S^{-1}Aの部分集合ではあるので（イデアルであるとは限りませんが）、π(K)(S^{-1}A)は、S^{-1}A上で定義されている積をつかって定義出来ます。

x∈Kだから、(x/1)∈π(K)。(1/s)∈ S^{-1}Aなのは当然。従って、(x/1)(1/s)∈π(K) (S^{-1}A)が成り立つ。

※一応書いておきますが、このままでは一方向の包含関係しか示してないので、逆方向を示す必要があります。

> なんでπ^-1(J)をJ∩Aなどと書くようにしたか
これはよくわからない...

お礼

ご回答ありがとうございます！
>（イデアルであるとは限りませんが）、π(K)(S^{-1}A)は、S^{-1}A上で定義されている積をつかって定義出来ます。

イデアルの積のように表したかったという事ですかね、何となくですが、納得はできました。
この参考書は記号が多かったり複雑な表現をしていたりと理解するまで苦労しています…笑(^^;)