イデアルの証明がよくわかりません…(/_;)

質問

本を読んでいて，
次の命題を証明したいのですが…．

Iを有理整数環Zのイデアルとすると，I=Zaとなる整数aが存在する．

イデアルの考え方も自信がないので，
分かりやすく証明を書いていただけると嬉しいです(T T)

よろしくお願いします!!

回答No.11

koko_u_u · ベストアンサー

だいたい良いので、細かいところだけ

>[i] I={0}=(0)の場合
>これは，どんな整数と0をかけても0になるので，成り立つ．

よろしくありません。
「どんな整数と0をかけても0になる」ので、何が成立しているのかはっり書くべきです。

>[ii]I≠(0)
>この場合を考えるとき，例えばmがイデアルの元であるとすると，
>マイナスをかけた場合もイデアルに含まれることは定義よりわかる．
>よって，これより元が自然数である場合を考えることにする．

微妙にわかってないような気もするけどスルー。

> 逆の場合を考えてみる．Iから任意の元nをとると，
> nは(正の)整数なので， n=aq+r, 0≦r<a　をみたす整数q, rが存在する．

n は任意にとったので、正の整数とは限りません。
その後の議論で「正の」整数であることは使用していないことに注意しましょう。

お礼

ありがとうございました!!
「スルー」はすこし寂しかったですが…

いつも早く回答してくださって
とてもうれしかったです!!
なんどもしつこく補足してしまって
すみませんでした…
ありがとうございました!!

ベストアンサーにさせていただきます!

回答No.1

koko_u_u

＞次の命題を証明したいのですが…

ならば、まずは自分で考えて、その内容を補足にどうぞ。

補足

ご回答ありがとうございます!!

本で証明は書いてあります．
その途中まで書きますと，

I={0}ならばI=(0)
よってIは0と異なる元mを含むとして良い．
もしm<0なら，イデアルの定義より，
-m∈Iだからm>0としてよい．
よってIは自然数を含む．

となっているのですが，
いくつかわからないところがあるのです…．

(1)「Iは0と異なる元mを含むとして良い」とありますが，
　「I={0}ならばI=(0)」なら，どうして0を考えなくていいのですか？
(2)(1)と同じ理由だと思うのですが，
　「-m∈Iだからm>0としてよい」で，どうしてm<0を除外するのでしょうか？
(3)どうして「Iは自然数を含む」なのでしょうか？
　0や負は自分で除外したので，整数だと私は思いました…

よろしくお願いします!!