固有値が正であることを示す

質問

A= （a　b　c）
　　（b　1　0）
　　（c　0　1）

に対してa>-1で|A|>0ならば、Aの固有値も正であることを示せ。

という問題がわかりません。Aは3×3行列を表しています。
どのように固有値を出すのかもよくわかりません・・ご回答よろしくお願いします

回答No.1

井口 豊（@Iguchi_Y） · ベストアンサー

単位行列I=[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]
のｘ倍
xI=[x,0,0],[0,x,0],[0,0,x]
を考え,行列式

det(xI-A)

を計算
(x-1)^2*(x-a)-c^2*(x-1)-b^2*(x-1)

因数分解して
(x-1)*(x^2-a*x-x-c^2-b^2+a)
＝０
とおいて，解くと固有値が出ます。

問題になるのは，右側のカッコの面倒な2次式ですね。
でも，解いてみましょう。

x=
-(sqrt(4*c^2+4*b^2+a^2-2*a+1)-a-1)/2　　・・・（１）
(sqrt(4*c^2+4*b^2+a^2-2*a+1)+a+1)/2　　　・・・（２）
と二つの解になります。

ルートsqrtは正なので，（２）の解で
a>ー1
なら必ず正になります。

一方，
Bの行列式
det (B)=-b^2-c^2+a　＞０
ならば

a＞b^2+c^2　・・（３）
であり

解（１）のsqrtの中を見て

4*c^2+4*b^2+a^2-2*a+1
＝4*（c^2+b^2)+a^2-2*a+1 ＜　4*a+a^2-2*a+1 ＝　a^2+2*a+1 ＝　（a+1)^2　　・・・（４）
となります
（３）を代入したのです。

a>ー1
より
sqrt(（a+1)^2)
は
ルートをはずして
a+1

結局
-(sqrt(4*c^2+4*b^2+a^2-2*a+1)-a-1)＞－(（a+1）-a-1)＞０

であり，左側の解も正になります。
解はマイナスがつくので，（４）と不等号が逆になるところ注意です。

だいたい計算はこんなところです。

厳密さは，誰かフォローしてくれるかも。

お礼

ご丁寧にありがとうございました。

回答No.2

alice_44

v = 転置(x,y,z) と置いて
二次形式 (転置v)Av を平方完成すると、
= (a-bの2乗-cの2乗)xの2乗 + (bx+y)の2乗 + (cx+z)の2乗
となります。
｜A｜= a - bの2乗 - cの2乗 ＞ 0
であれば、
(転置v)Av ≧ 0
が常に成り立ちますね？
よって、A は正値行列であり、
その固有値は全て正です。