固有値と安定性

質問

Aを2n×2n実（ハミルトン）行列、ｘをｘ∈R^(2n)としたとき
dx/dt=Ax (*)
の解は、Aのすべての固有値が純虚数であるとき、安定（t>0で||x(t)||<∞）
である。なぜなら、(*)の任意の解はt^k*exp(tλ)v (kは正整数、λは固有値、ｖは定ベクトル）の線形結合で書き表されるが、固有値が純虚数の時には、k=0となるからである。

と今読んでいる本に書かれているのですが、何故、すべての固有値が純虚数ならばｋ＝０といえるのか理解できません。基礎的な質問かと思われますが、どなたかよろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia

「ハミルトン行列」というのは、
「エネルギー」とか「運動方程式」とかと同様に、物理学上の概念で、
「エルミート行列」とかのように行列の種類を表す用語ではありません。
与えられた行列 A が、ある系のハミルトン行列であった場合に、
A にどのような数学的制限が課せられるのか…は、数学カテよりも、
物理学カテで訊ねる方が、適切なような気がします。

線型微分方程式 dx/dt = Ax の解が安定なのは、
・ A の固有値の実部が ≦0 かつ、A が対角化可能なとき
・ A の固有値の実部が ＜0 であるとき
ですから、御質問のように A の固有値が全て純虚であれば、
安定か否かは、A が対角化可能かどうかで決まります。

A がハミルトン行列であることは、A が対角化可能であることを
導くのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

一般に固有値 λ の重複度が N であれば, 解は (t の N-1次多項式) exp(λt) という形になります. このような形の式を異なる固有値ごとに線形結合すれば当該微分方程式の一般解となります.
ちょっと調べるとハミルトン行列では固有値が実軸及び虚軸の両方について対称ということなので, 「純虚数でない固有値」を持つ場合には「実部が正の固有値」を持ちます. つまり安定ではありません.
ということで, 安定であるためには「全ての固有値が純虚数である」ことまではわかります.
ただし, もしも純虚数である固有値の重複度が 2以上であれば発散してしまいます. ハミルトン行列のときにそのようなことがあるかどうかは知りません.