固有値、固有ベクトル

質問

次の行列を直交行列使って対角化したいのですが解答、解法お願いします。

0,0,0,1
0,0,1,0
0,1,0,0
1,0,0,0

固有値は1,-1でいいのでしょうか？
そうした場合、解答である
1,0,0,1
0,1,1,0
0,1,-1,0
1,0,0,-1
の1/√2倍
にどうしたらなるのでしょうか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>固有値は1,-1でいいのでしょうか？
いいですよ。正確には、1、１(２重解)、-1、-1(２重解)です。

>の1/√2倍
にどうしたらなるのでしょうか？

固有ベクトルは定数倍しても固有ベクトルですから、固有ベクトルを絶対値（√2）で割って単位ベクトルに規格化しただけでしょう。
例えば、v1=(1,0,0,1)なら|v1|=√(1^2+0^2+0^2+1^2)=√2
　なので、単位ベクトルに規格化すれば v1/|v1|=(1,0,0,1)/√2
今の場合
　|v1|=|v2|=|v3|=|v4|=√2なので（単位固有ベクトルで構成する）固有行列は
共通の1/√2が括り出せるわけです。