数学の質問です【広義積分】

質問

f(x)が奇関数で、x = -∞　～　+∞　のとき、定積分
∫f(x) = 0

は恒等的に成り立つのでしょうか？
私は、直感的に成り立つと思ったのですが、なかなか証明ができません。
どなたかご教授頂けないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

その予想は、成り立ちません。
成り立たないことを証明しようとしてみれば、
何か新たな展開もあるのでは？

広義積分 ∫[-∞＜x＜∞]f(x)dx が収束するとは、
[-a＜x＜b]f(x)dx の値が、
a,b がどんな近づきかたで ∞ へ近づいても
同じ値に近づくことを言います。

f(x) が奇関数であれば、a=b に限れば 積分=0
になりますが、a,b が任意の近づきかたでよい
場合にしか、広義積分が収束するとは言えません。

収束しない例として、f(x)=x について、
∫[-a＜x＜b]f(x)dx の a,b をイロイロ
変化させて遊んでみてください。
a,b→∞ のとき、∞-∞ 型の不定形になって
値が決まらないことが、解るかと思います。

回答No.1

Tacosan

「なかなか証明ができません」というからにはいろいろやってるんだよね.

何をどうやってどこで困っているのですか?

まあ, 成り立たないものを証明しようとしても無駄なわけだが.