二点間の距離から多数の点をプロットしたい

質問

点p1,p2...p5があり2点間の距離がすべてわかっている場合、各点の座標(x1,y1)..を導出できますか。
ここでは5点で例示しましたが、実際は100点ほどあります。
また精度はそれほど問いません。

回答No.3

Kules

座標を求める、ということなので、１つの点に対して未知数は２つ（x,y）ということでよいですよね？
また、n個の点の２点間の距離が全てわかっているということは、式はnC2個立てられるということになると思います。

ということは、nC2が2*nよりも多ければ各点の座標は１つに決まりますし、少なければ決まりません。
具体的には、
3点なら3C2=3、2*3=6で、立てられる式より未知数が多いので無理。
4点なら4C2=6、2*4=8で、立てられる式より未知数が多いので無理。
5点なら5C2=10、2*5=10で、立てられる式の数と未知数の数が等しいので解ける。
…
100点なら100C2=4950、2*100=200で未知数の数より立てられる式の数の方が多いので解ける。

となるかと思われます。
ただ、立てる式は
(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=r12^2
みたいな式になると思いますが、二乗している分符号の情報が失われてしまい、結局解けないかも知れません。
式は4950個立てられたとしても、それらが全て独立なものなのか（いくつかの式を適当に変形したら、他の式にならないか）ということも考える必要があります。

さらに、上記の問題がクリア出来たとしても、座標が導出できるとは限りません（「解なし」という答えが出るかもしれません。最小二乗法か何かで、残差が最も少ない答えを出しにいくことになるかも知れません）

参考になれば幸いです。

お礼

お答えをいただいてすぐ、お礼を述べたのですが、うまくアップできていませんでした。申し訳ありません。
N>5なら解ける（はず）という点、大変よく理解しました。

この際、いろいろ研究してみようと思います。
ありがとうございました。

回答No.2

sanori

すみません。早とちりでしたか。

p1-p2, p1-p3, p1-p4, p1-p5,
p2-p3, p2-p4, p2-p5,
p3-p4, p3-p5,
p4-p5

の全ての距離がわかっているということでしょうか。

話を単純にするため、三角形を考えます。
点の数が３個なので、互いの距離（３辺の長さ）がすべてわかれば三角形の合同条件が成立します。
しかし、合同ではあっても、平行移動、回転、裏返しがありますから、座標は決まりません。

お礼

速やかなお返事ありがとうございました。

所与の条件
> p1-p2, p1-p3, p1-p4, p1-p5,
> p2-p3, p2-p4, p2-p5,
はそのとおりです。
（蛇足ながら。この記法でよく分かっておいでだ　と思いました）
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三角形の合同条件でのお示しで
すっきり納得できました。
線対称、点対称があれば当然座標は変わりますものね。

ベクトルとスカラーの点も理解しました。

今回の課題に、極座標（r,θ）を入れられないか考えてみます。

回答No.1

sanori

こんにちは。

できません。
距離ではなく、Ｘ方向にいくら、Ｙ方向にいくら、という向きのある量、すなわち、ベクトルとしての情報がないとダメです。

言い換えれば、
ベクトルの絶対値　＝　距離（スカラー）
なので、スカラーにしてしまった時点で、情報が減ってしまいます。

名称を忘れましたが、子供の頃に雑誌か何かで、たくさんの点を番号順に折れ線グラフみたいに結んでいくと、ある図形が完成する、というのを遊んだことありませんか？
ある点から次の点に行くのに、長さだけ合っていて方向があさっての方向ということでは、点と点を結べませんよね？