２点からの等距離

質問

２点　Ａ（１，１）　Ｂ（２、４）　から等距離にあるＸ軸上の点Ｐの座標と直線ｙ＝－３ｘ－１上の点Ｑを求める問題なのですが、グラフを書いてみたのですが、まず、どのあたりが等距離になるのかすらわかりません。どう処理すればいいでしょうか？

助けてください。お願いします。

回答No.4

kkkk2222

前半は、

　　　点ＰはＸ軸上にあるので、
　Ｐ（ｘ、０）と置けます。
　　　文字（代数）は、ｘでなくても良いです。
　　　好きな文字を使って下さい。
　　　＜例　Ｐ（ａ、０）、Ｐ（ｓ、０）　etc.＞

　　　次に、問題文に忠実に式を立てます。
　　　最初の式は、ＰＡ＝ＰＢ　です。

　　　是を２点間の距離の公式で、
　　　座標に変換します。

　　　Ｐ（ｘ、０）、Ａ（１、１）、Ｐ（ｘ、０）、Ｂ（２、４）

√([(x-1)^2]+[(0-1)^2])=√([(x-2)^2]+[(0-4)^2])
両辺を２乗して、整理すると一次方程式になります。

　　[(x-1)^2]+[(0-1)^2]=[(x-2)^2]+(0-4)^2]
　　(x^2)-2x+1+1=(x^2)-4x+4+16
　　2x=18
　　x=9
　　Ｐ（９、０）となって完成です。

（別解）

　　点Ｐは、２点　Ａ（１、１）、Ｂ（２、４）の、
　　垂直二等分線上に在るので、

　　Ａ（１、１）、Ｂ（２、４）の中点Ｍ（ｐ、ｑ）は、
　　ｐ＝（１＋２）/２、　ｑ＝（１＋４）/２
　　Ｍ（ 3/2、5/2）

　　直線ＡＢの傾きｍは、
　　ｍ＝(4-1)/(2-1)=3

　垂直二等分線の傾きｍ’は、
　２直線の直交条件 ｍ*ｍ’＝－１　により、
　ｍ’＝-1/3

　垂直二等分線の方程式は、
　y-(5/2)=(-1/3)[x-(3/2)]
　　　y=(-1/3)[x-(3/2)]+(5/2)・・・（１）

　是がｘ軸と交わる点が、Ｐ（ｘ、０）ですから、
　　　　　　　　　　　ｘ軸の方程式、y=0・・・（２）

　（１）（２）を連立して、　
　　　0=(-1/3)[x-(3/2)]+(5/2)
　　　　-(5/2)=(-1/3)[x-(3/2)]
　　　　(15/2)=[x-(3/2)]
　　　　x=(15/2)+(3/2)=(18/2)=9
　　　　Ｐ（９、０）　　。
---------
後半は、

　　点Ｑは、直線ｙ＝－３ｘ－１上に在るので、
　　　　Ｑ(x,-3x-1)と置いても良いのですが、
　　　　多少、紛らわしいので、
　　　　Ｑ(a,-3a-1)と置きます。

　　こう置いてしまえば、
　　考え方は、前半と同じですから、
　　式変形のみ書きます。

ＱＡ＝ＱＢ　
Ｑ(a,-3a-1)、Ａ（１、１）、Ｑ(a,-3a-1)、Ｂ（２、４）

√([{a-1}^2]+[{(-3a-1)-1}^2])=√([{a-2}^2]+[{(-3a-1)-4}^2])
(a-1)^2+(-3a-2)^2=(a-2)^2+(-3a-5)^2
(a^2)-2a+1+9(a^2)+12a+4=(a^2)-4a+4+9(a^2)+30a+25
-16a=24
-2a=3
a=(-3/2)
-3a-1=-3(-3/2)-1=(9/2)-(2/2)=(7/2)
Ｑ( -3/2 , 7/2)

（別解）

Ｍ（ 3/2、5/2）
ｍ＝3, ｍ’＝-1/3
y=(-1/3)[x-(3/2)]+(5/2)
y=-3x-1
(-1/3)[x-(3/2)]+(5/2)=-3x-1
(-1/3)x+(1/2)+(5/2)=-3x-1
(8/3)x=-4
x=(-3/2)
y=-3x-1=-3(-3/2)-1=(9/2)-(2/2)=(7/2)
Ｑ( -3/2 , 7/2)

回答No.3

execrable

まずＸ軸上の点Ｐは(s,0)と置けます。
直線ｙ＝－３ｘ－１上の点Ｑは（t,-3t-1)と置きましょう。
それで、Ｐを求めるのは、ＰＡ＝ＰＢを利用します。
ＰＡは、(s-1)^2+1にルートをかけたものになります。（三平方の定理）
ＰＢは、(s-2)^2+4^2にルートをかけたものです。
それで、ＰＡ＝ＰＢなので、
(s-a)^2+1=(s-1)^2+4^2
を解けば、s=19/2になります。
よって、Ｐ＝(19/2,0)です。
Ｑも同様に、ＱＡ＝ＱＢなので、それぞれＱＡとＱＢをtを使って表し、tを求めることで出てきます。

回答No.2

MUTESELECT

まず、高校の数学であれば基本的に求めたいものを
文字を使って表し、立式します。

求めたいＸ軸上の点Ｐの座標を（ｐ、０）とします。

点Ａと点Ｐの距離は、（ｐ－１）の２乗　＋（０－１）の２乗
同様に
点Ｂと点Ｐの距離は、（ｐ－２）の２乗　＋（０－４）の２乗
この２つが等距離なので、等しく
(ｐ－１)の２乗＋(０－１)の２乗＝(ｐ－２)の２乗＋(０－４)の２乗
展開して整理して、２ｐ＝１８　　よってｐ＝９
求めたいＸ軸上の点Ｐの座標は（９、０）

同様に、
直線ｙ＝－３ｘ－１上の点Ｑの座標を(ｑ、－３ｑ－１)として
立式して解くと答えがでますよ。

実際にグラフを書くのはかなり有効で良いと思います。
その調子で頑張ってください。

回答No.1

noname#59315

考え方を述べます。
点A,Bの等距離の線は、線分ABの真ん中の位置を通り、傾きが線分ABの負の逆数（つまり線分ABの式がｙ＝ａＸ＋ｂであらわされる場合は－１／ａ）で求められます。
点Ｐはこの等距離式とＸ軸（ｙ＝０）との交点ですね。
点Ｑはこの等距離式とｙ＝－３ｘ－１との交点ですね。