平面と点の距離

質問

3点の座標A1(x1,y1,z1)、A2(x2,y2,z2)、A3(x3,y3,z3)からできる平面と、点t(x4,y4,z4)との距離をベクトルなどで求めることはできますか？

x、y、zには任意の数字が入ります。

公式などありましたら教えてください。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

四面体（三角錐）tA1A2A3の体積
V=(1/6)*|(((tA1↑)×(tA2↑))・(tA3↑))|
と底面の△A1A2A3の面積S
S=|((A1A2↑)×(A1A3↑))|/2
と三角錐の高さh、つまりtと△A1A2A3の距離d=h
の関係
V=(1/3)Sh
から
d=h=3V/S=|(((tA1↑)×(tA2↑))・(tA3↑))|/|((A1A2↑)×(A1A3↑))|
が求まります。

お礼

体積で求める方法もあるのですね！
参考になりました。

ありがとうございます。

前のかたと同じ質問になり恐縮ですが、3点の座標A1(x1,y1,z1,w1...)、A2(x2,y2,z2,w2...)、A3(x3,y3,z3,w3...)のように
4つ以上のパラメーターで点T(x4,y4,z4,w4...)との距離を求めることができるでしょうか？

回答No.2

vespasian

点は大文字で表すことが多いので、点tは点Tとします。求めたい距離をhで表します。

まず、外積を用いて、平面に垂直な単位方向ベクトル↑nを求める。
　　↑N=↑A1A2×↑A1A3, ↑n=↑N/|↑N|
つぎに、Tと平面状の一点を結ぶベクトルと↑nとの内積をとる。この内積で求まる値は方向により正負があるので、絶対値をとる。
　　h=|↑TA1・↑n|

お礼

なるほど！
とても参考になりました。

ありがとうございます。

さらに3点の座標A1(x1,y1,z1,w1...)、A2(x2,y2,z2,w2...)、A3(x3,y3,z3,w3...)のように4つ以上のパラメーターで点T(x4,y4,z4,w4...)との距離を求めることができるでしょうか？