内心

質問

２次関数で内心をもとめる問題です。意外とむずかしいのでわかる方教えてください。

座標Ａ（０、０）、Ｂ（３，３）、Ｃ（４，０）の３点を結んだ三角形があります。その内心の求め方と座標を教えてください（Ｘだけでも可）。

わかりやすく教えていただける方の回答お待ちしています。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

handmishさん、こんにちは。
分かりやすいかどうかわからないですが・・

＞座標Ａ（０、０）、Ｂ（３，３）、Ｃ（４，０）の３点を結んだ三角形があります。その内心の求め方と座標を教えてください（Ｘだけでも可）。

内接円の中心（内心）をＩ(a,b)とします。
点Ｉは、線分ＡＢ，ＢＣ，ＣＡから等距離にあります。
また、線分ＡＣはｘ軸になっているので
内心のｙ座標そのものが、内接円の半径になります。

直線ＡＢの方程式
y=x
ですから、点(a,b)からy=xまでの距離は
点と直線の方程式から,b>0より

|a-b|/√(1^2+1^1)=b
|a-b|=√2b・・・(1)

直線ＢＣの方程式は

y-3={(0-3)/(4-3)}*(x-3)
3x+y-12=0
これと点(a,b)との距離は

|3a+b-12|/√(3^2+1^1)=b
|3a+b-12|=√10b・・・(2)

(1)(2)と未知数がa,bの２個ですから、
連立方程式を解けば、aｂは求められます。
（計算かなりややこしそうです・・）

それか、面積から考えるとよいのでは。
三角形ＡＢＣの面積は
内接円の半径をｒとすると

△ＡＢＣ＝ｒ＊（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）／２

ですね。
ＡＢ＝√（３＾２＋３＾２）＝３√２
ＢＣ＝√（３＾２＋１＾２）＝√１０
ＣＡ＝４

また、△ＡＢＣの面積は底辺ＡＣ＝４、高さ３なので
底辺×高さ÷２より６

なので
△ＡＢＣ＝ｒ＊（ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ）／２＝６
ｒ＝１２／（３√２＋√１０＋４）
↑
この半径が内心のｙ座標になっている。
あとは、
|a-b|/√(1^2+1^1)=b
からｘ座標のaも求められると思います。
一度やってみてくださいね。

お礼

回答ありがとうございます。とても参考になりました。そんな方法は知りませんでした。自分でやってみたらばっちりできました。

回答No.3

hakuryuu

fushigichanさんが二つ目に書いた回答が一番求めやすいと思いますが、少し補足すると
rを求めたあとにそのrをy座標としてx座標を求めますが
内心は角BACの二等分線を通るということなので
y=1/2x(ABがy=xなので）に代入して求めれば、より簡単だと思います。

お礼

回答ありがとうございます。２番目の方法は簡単に理解できました。より簡単な方法もとても参考になりました。文量からポイントをつけさせて頂きました。ご容赦ください。

回答No.1

adinat

内心＝三つの角の二等分線の交点＝各辺から等距離にある点
というのをヒントに点と直線の距離の公式を用いるのが自然な解法だと思います。図は御自身で描かれて試してみてください。

まず直線ABの式はx-y=0、直線BCは3x+y-12=0と出来ることに注意。
内心の座標をI(X,Y)と置くとIと直線ACの距離はY、
他方直線と点の距離の公式より、
Iと直線ABの距離は｜X-Y｜/√2、Iと直線BCの距離は｜3X+Y-12｜/√10です。
これらがすべて等しいから
Y=｜X-Y｜/√2=｜3X+Y-12｜/√10
となります。絶対値が面倒なので全辺二乗して、
Y^2=(X-Y)^2/2=(3X+Y-12)^2/10
となります。あとはこれを解けばよいですが面倒です。絶対値を正負に分けて場合分けの方が恐らく無難でしょう。

もうひとつのアイデアですが、∠BACの二等分線をまずもとめます。計算は例えばtanの半角公式tanθ/2={(1-cosθ)/(1+cosθ)}^(1/2)を用いてy=(√2-1)xであることがわかります。内心点はこの直線上にあることから、直線BCとの距離と直線ACとの距離が等しくなる条件を求めてもできます。こちらだと
|3x+(√2-1)x-12|/√10=(√2-1)x
となって両辺二乗して整理すれば
(36-16√2)x^2-24(√2+2)x+144=0
という二次方程式を解けばよいでしょう。

計算ミスはご容赦ください。いずれにしても僕の方法では高校二年ぐらいの数学の知識が必要のようですので、もっと別の方法があるような気はします。

お礼

回答ありがとうございます。距離の公式を使う方法は知りませんでした。傾きで求めることもできるのですね。