高校数学、定積分の計算

質問

∫（[0,1])√ｘ（１－ｘ）ｄｘ＝√（１/２）＾２－（ｘ－１/２）＾２ｄｘ
ここで、ｙ＝√（１/２）＾２－（ｘ－１/２）＾２は中心（1/2、０）半径１/2の半円だから

√２π/48
（疑問）
「ｙ＝√（１/２）＾２－（ｘ－１/２）＾２は中心（1/2、０）半径１/2の半円だから」とあるのですが、この計算でどこからそれが思いつくのでしょうか?どういうことに警戒していたらこのような変形ができるのでしょうか？

回答No.1

transcendental · ベストアンサー

∫[0 to r]√（ｒ＾２－ｘ＾２）ｄｘ＝πｒ＾２/４　はよく出てくる積分で、円の上半分を平行移動したもの、
（ｘ－ｒ/２）＾２＋ｙ＾２＝（ｒ/２）＾２、ｙ≧０　
すなわち、ｙ＝√｛（ｒ/２）＾２－（ｘ－ｒ/２）＾２｝＝√｛ｒｘ－ｘ＾２｝
の定積分は頻出です。
根拠を示す場合（ｘ－ｒ/２＝（ｒ/２）sinφと置換）でなければ、そのまま使います。
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※∫[0 to 3r/4]√｛３ｒ＾２/１６＋ｒｘ/２－ｘ＾２｝ｄｘなども積分を実行せずに値を計算できます。
（∫[0 to pi/2](sinφ)^n・ｄφも同様）

お礼

ありがとうございました

回答No.2

asuncion

半径1/2の半円の面積は
π(1/2)^2/2
= π/8

のような気がします。

お礼

ありがとうございました