重責分に関してです。

質問

以下の問題の(2)、(3)は合格を貰えたのですが、何故か(1)だけダメでした。
回答者の皆様にアドバイスを貰いたく思います。

∫∫（y/(x+y)）e^（y/(x+y)）^2 dxdy
積分範囲[x>=0,y>=0,1/2<=(x+y)<=1]

(1)累次積分しなさい←再提出…orz
(2)ヤコビアン変換しなさい←ok
(3)(2)を解きなさい←ok

提出した内容

1/2<=(x+y)<=1　より　1/2-x<y<1-x , x>0 , y>0
y=1-x及びy=1/2-xのグラフを考える。

y=1/2-xに関して、x=0ならばy=1/2、y=0ならばx=1/2
y=1-xに関して、x=0ならばy=1/2、y=0ならばx=1

以上より下記のグラフが書ける。

∴　∫[0 1] {∫[1/2-x 1-x] （y/(x+y)）e^（y/(x+y)）^2 dy } dx

>>xの範囲[0 1]がその時は正しく思えたのですが…[1/2 1]ということでしょうか…
又、根本的に間違っている可能性もあります。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>以上より下記のグラフが書ける。
積分領域の図は合っています。
積分範囲[x>=0,y>=0,1/2<=(x+y)<=1]

>∴　∫[0 1] {∫[1/2-x 1-x] （y/(x+y)）e^（y/(x+y)）^2 dy } dx
この累次積分の積分領域と同じになっていません。
この積分の積分領域は
積分範囲[x>=0,1/2<=(x+y)<=1]
で「y>=0」が抜けています。

正しい積分領域による累次積分の表現はx<=1/2でy<=0になるのでyの積分範囲を
[0,1-y]としないといけません。1/2<=x<=1ではy>=0となるので積分範囲は
[1/2-x,1-x]のままで良いでしょう。

I=∫[0,1/2] {∫[0,1-x] （y/(x+y)）e^（y/(x+y)）^2 dy } dx
+∫[1/2,1] {∫[1/2-x,1-x] （y/(x+y)）e^（y/(x+y)）^2 dy } dx

お礼

いつもお世話になります、info22_さん。
的確な回答、ありがとう御座います。

何とか理解ができました！