複素数平面の問題です。

質問

z=x+yi（y≠0）と与えられており、かつ1,z,z^2,z^3はそれぞれ異なるとします。
A(1),B(z),C(z^2),D(z^3),E(z^4)とそれぞれ置かれています。

線分ABと線分CDが両端以外で交わるときに、線分DEと線分BCも必ず交わるということを示したいですが、どなたかわかりますか？

回答No.2

ei10 · ベストアンサー

こんにちは。ええとこのやり方は問題を解く1つの方法
としてみてくださいｗ実際にはこの方法は面倒だとは
思いますが、感覚的にも理解しやすいと思います。

まず
|z|=a
と置きます。
すると
A(1),B(z),C(z^2),D(z^3),E(z^4)
はそれぞれ、
A(1,0)
B(acosθ,asinθ)
C(a^2cos2θ,a^2sin2θ)
D(a^3cos3θ,a^3sin3θ)
E(a^4cos4θ,a^4sin4θ)

となります。θはとりあえず、0<θ<πとしておきます。
θ<πの理由は、π<θ<2πは0<θ<πのｘ軸反転だからです。

次にaの範囲を考えます。例えば、直線ＤＣがあるθの範囲では
1より多きいという条件を考えればa<2であることが分かり、
直線ＡＢは同じθでＤの大きさを半径とした円の内側に入らない
ことを条件として考えれば、0.5<a
となり、結果的に0.5<a<2となります。

例えば、a=1のときなら全ての点が単位円上にあるので、
すぐに証明できます。
問題はa≠1の時ですが、これも簡単で

ようはこの証明は言い換えれば
0.5<a<1のとき、線分ＡＢ上に点Ｄが、
線分ＣＤ上に点Ｅが同時に乗ればいいという事で、
もっと言えば、△ＢＣＤと△ＣＤＥが相似である、ということ。
と
1<a<2のとき、線分ＣＤ上に点Ａが、
線分ＤＥ上に点Ｂが同時に乗ればいいという事で、
もっと言えば、△ＡＢＣと△ＣＤＥが相似である、ということ
を言えばいいのです。

最終的にはどんなaでもθが2π/3までは重なることはないので、
2π/3<θ<2π
を考えればいいと思います。

回答No.1

nag0720

線分ABと線分CDの交点の複素数をwとすると、線分BCと線分DEの交点はwzになります。

あとは、３点が一直線になることを式で表現すれば自然に証明できます。