空間図形の問題です。

質問

正四面体ＡＢＣＤがあって、Ａ．Ｂ，Ｃの座標はそれぞれ(0.0.0),(0.4.0),(3,2,√3)である。　
（１）頂点Ｄの座標を求めよ

この問題の教科書の解答の意味がわかりません。
解答
⇔AB＾2=BC＾2=CA＾2=16であるから、
正四面体の一辺の長さは４である。Ｄの（ｘ、ｙ、ｚ）とすると、ＡＤ＝４で、ＡＤ→はＡＣ→、ＡＢ→と６０°の角をなす。

質問１：なぜ、ＡＢ＾２＝１６なのですか？ＡＢ＝４だからですか？ではどうしてＢＣやＣＡまで４なのですか？
理由はＡ（０．０．０）Ｂ（０．４．０）ここから0-0.4-0.0-0をして
ＡＢ間は４としたのですか？でもＢＣ間は、Ｂ（０．４.０）C(3.2.√3)なので、ＢＣ間は４にはなりそうに無いのですが。。別のやり方ですか？？　また、正四面体と記載されてるので、長さは全て同じと言うのは理解してますけど。。ＡＢとＢＣみても合わないので混乱してます。

続き→
よって｜ＡＤ→｜＾２＝ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝１６　....(A)
質問２．なぜですか？？＞＿＜？公式ですか？？

続き→
AD→・AC→＝3x+2y+√3z=4・4cos60°=8......(B)
AD→・AB→=4y=4・4cos60°=8
∴y=2 .....(C)
(C)と(A),(B)から
x＾2+z＾2=12 , 3x+√3z=4 .....(D)
xを消去して 3z＾2-2√3z-23=0
∴z=(√3+6√2)/ 3 (D)より x=(3－＋2√6)/3 (zとｘは複合同順）
よって、点Ｄは二つ定まり、その座標は
Ｄ（ (3±2√6) / 3 , ２ , (√3－＋6√2) / 3 (複合同順）

→質問３、AD→・AC→＝3x+2y+√3z=4・4cos60°=8......(B)
AD→・AB→=4y=4・4cos60°=8
の式で、3x+2y+√3zとなるのは単純に(x.y,z)と(3.2.√3)を互いに掛けてるだけなのは理解したのですが、その後ろの4・4cos60°となぜなるのかわかりませんでした＞＿＜

だれか教えてください、宜しくお願いします＞＿＜

回答No.5

rtz · ベストアンサー

質問されている方がどの程度まで理解されているかによって
かなり解説も違ってくるのですが。
分かるところはすっ飛ばしてください。

まず、点Pと点Qがあって、座標がP(a,b,c)、Q(d,e,f)と表されるとき、
PQ→＝(d-a,e-b,f-c)と表される、ということはいいでしょうか（分からなければベクトルで復習）。

続いてこのPQ→の大きさ（長さ）が|PQ→|＝√{(d-a)^2+(e-b)^2+(f-c)^2}と表されるのはいいでしょうか。
（分からなければ、http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/vect103.htm）

ABCDは正四面体なので各辺の長さが全て等しいです。
つまり、まずは一辺の長さを知る必要があります。

一番簡単なのがAB。
AB→＝(0-0.4-0,0-0)＝(0,4,0)なので、|AB→|＝√(0^2+4^2+0^2)＝4
（というか、AとBの座標を考えれば距離が4なのは当たり前ですが）
ちなみにBCやACも同じように長さが求められます。
BC→＝(3-0,2-4,√3-0)＝(3,-2,√3)なので、|BC→|＝√{3^2+(-2)^2+(√3)^2}＝4
AC→＝(3-0,2-0,√3-0)＝(3,2,√3)なので、|AC→|＝√{3^2+2^2+(√3)^2}＝4

結局全ての辺の長さは4ということが分かります。

ならばADの長さも4です。
AD→＝(x-0,y-0,z-0)＝(x,y,z)なので、|AD→|＝√(x^2+y^2+z^2)
つまり√(x^2+y^2+z^2)＝4からx^2+y^2+z^2＝16 …●
（普通はADの長さが4なのでそれを二乗してx^2+y^2+z^2＝16としますが）

次に、ベクトルの内積はよろしいでしょうか。
（分からなければhttp://shigihara.hp.infoseek.co.jp/vect15.htmとhttp://shigihara.hp.infoseek.co.jp/vect16.htmの両方参照）

正四面体の各面は全て正三角形です。
つまり△ABDも△ACDも正三角形です。
ならば∠DABも∠DACも60度です。

ここでAD→とAC→の内積、AD→とAB→の内積を考えます。

AD→＝(x,y,z)、AC→＝(3,2,√3)で、|AD→|＝4、|AB→|＝4、∠DAC＝60度でしたから
内積(AD→)・(AC→)を成分表示の方で計算すると、
(AD→)・(AC→)＝x*3＋y*2＋z*√3＝3x+2y+√3z
内積(AD→)・(AC→)を大きさと成す角度の方で計算すると、
(AD→)・(AC→)＝|AD→|*|AC→|*cos∠DAC＝4*4*(1/2)＝8
つまり3x+2y+√3z＝8 …▲と分かります。

AD→とAB→の内積も同じです。
AD→＝(x,y,z)、AB→＝(0,4,0)で、|AD→|＝4、|AB→|＝4、∠DAB＝60度でしたから
内積(AD→)・(AB→)を成分表示の方で計算すると、
(AD→)・(AB→)＝x*0＋y*4＋z*0＝4y
内積(AD→)・(AC→)を大きさと成す角度の方で計算すると、
(AD→)・(AB→)＝|AD→|*|AB→|*cos∠DAB＝4*4*(1/2)＝8
つまり4y＝8 …■と分かります。

あとは●、▲、■の式を解いてやれば終わりです。
x^2+y^2+z^2＝16 …●
3x+2y+√3z＝8 …▲
4y＝8 …■

これくらいは自力でどうぞ。
あとこの問題はベクトルの基本的な問題なので、ベクトルの分野を復習されることをお勧めします。
ってみなさんもう書かれてるか。

お礼

ありがとうございました。すごくわかりやすかったです！！

回答No.4

velvet-rope

もう一度、教科書を読まれた方がいいですね。
いずれの質問も教科書に書かれている、最低限の事柄です。

質問1の回答
BCの長さは4です。その求め方ですが、
BC＝√(3-0)^2＋(2-4)^2＋(√3-0)^2＝√16＝4
これは、質問2の回答に関わってきます。

質問2の回答
質問から類推すると、質問者様は高校生以上だと思うので、三平方の定理はご存知かと思います。別名、ピタゴラスの定理と呼ばれているものです。
質問1の回答でも用いましたが、それを利用しただけのことです。

質問3の回答
> 3x+2y+√3zとなるのは単純に(x.y,z)と(3.2.√3)を互いに掛けてるだけなのは理解した
とありますが、「互いに掛けているだけ」と書かれていることから、どういう演算をしているかを理解していないのではないでしょうか。
これは2つのベクトルの内積を求めているのです。各ベクトルの成分がわかっているのですから、内積を求める手段として各成分に対応している値の積を足すのがあります。3x+2y+√3zはこのようにして求められたものです。
2つのベクトルの内積を求める手段がもう1つあり、それは2つのベクトルの各長さと、2つのベクトルのなす角の余弦(cos)を掛けたものです。
AD→・AB→=4y=4・4cos60°=8
の部分です。
3x+2y+√3zと8が等しいということですね。

回答No.3

ccyuki

質問１： 2点間の距離の公式　A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)　　
　　のとき　AB=√(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(Z2-Z1)^2
　　ですよ。かなり基礎です。　
　　ＢＣ=4　になりますよ。
　正四面体なので　AD=4　です。
質問２．質問１．と同じです。
　　Ａ(0,0,0),D(x,y,z)　で　距離の公式の両辺を2乗したものです。
質問３．内積の公式はふたつあります。
　a↓=(x1,y1,z1)，b↓=(x2,y2,z2)
　のとき　a↓・b↓=X1X2+Y1Y2+Z1Z2　で　3x+2y+√3z
　a↓・b↓=｜a↓｜・｜b↓｜cosθ
　　｜a↓｜は大きさですから　この式から　4・4cos60°
です。
ベクトルの内積の公式を確認して下さい。

回答No.2

noname#22058

xyz座標系での2点間の距離は、
√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2)
です。
今回の問題の座標を当てはめてみてください。

回答No.1

kaduno

質問１の回答だけ、
正四面体ＡＢＣＤのイメージはつかめますか？
例えば厚紙などで同じ大きさの正三角形を４つ作成してそれを組み合わせたものが正四面体です。
それなので、ＡＢの座標から１辺の長さが４と出てますので、残りの辺も全て長さは４ですよね。
なんといっても正三角形の集まりなのですから。