微分

質問

次の微分方程式を求めよ。
1.y´´+6y´+9y=e^(-3x)
λ^2+λ6+9=0として
（λ+3）^2=0
λ=-3
とここまではできたのですが、この先どうすればいいのでしょうか。
2.ｙ´´+y=sinx
これはどうすればいいのでしょうか。

ある生物の集団の個体数を時間tの関数z=z(t)で表わすとき
ｄｚ/ｄt=(a-bz)z　　z(0)=A
が成り立つという。ただし、Ａ,a,bは正の定数とする。
（i）a>0,b=0のとき、z=z(t)をAとaを用いて表せ。
（ii）a>0,b>0,a≠bAz(t)をAとa,bを用いて表せ。
（iii)a>0,b>0,a≠bAのときlim[t→∞]z(t)を求めよ。

お願いします。

回答No.3

noname#125931 · ベストアンサー

特性方程式は斉次線形微分方程式を解くのに使われる。
λ=-3を求めたことで、z=exp(-3x)が斉次方程式y''+6y'+9y=0の1つの解であることが分かった。
w=y/zと置く。
y''+6y'+9y=exp(-3x)にy=wzを代入し、整理すると
w''z+2w'(z'+3z)+w(z''+6z'+9z)=z。
z=exp(-3x)だからz'+3z=0。
zは斉次方程式の解だからz''+6z'+9z=0。
よってw''z=z。
よってw''=1。
よってw=(1/2)x^2+ax+b (a,bは実数)。
解はy=((1/2)x^2+ax+b)exp(-3x)、ただしa,bは実数。

問2も、sinxが斉次方程式の解であることを使って解けるんじゃないでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
とても助かりました。

補足

1.ある生物の集団の個体数を時間tの関数z=z(t)で表わすとき
ｄｚ/ｄt=(a-bz)zとあるのですが、なぜこのようになるのでしょうか。

2.下の問題の（ii）なのですが、
ｄｚ/ｄt=(a-bz)z
1/z(a-bz)dz=dt
∫1/a{(1/z)-(b/a-bz)}dz=dt
と先輩の答えにはあるのですが、2番目の式から3番目の式はどうやって導くのでしょうか。

回答No.5

Tacosan

下の方程式は「ロジスティック方程式」という有名なやつだ.

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

noname#125931

補足1へ：その方程式で、個体数が一定以上になったら減少する状況を表現したいのでは。
2へ：部分分数分解を本で調べる（先輩が正しいかどうか含めて）。

お礼

ありがとうございます。
部分分数分解をしたら、解けました！

回答No.2

Tacosan

ラプラス変換してもいいし, ヘビサイドっぽく演算子使ってもいい.
下はとにかくまず解け. はなしはそこからだ.

お礼

ありがとうございます。

補足

1.ある生物の集団の個体数を時間tの関数z=z(t)で表わすとき
ｄｚ/ｄt=(a-bz)zとあるのですが、なぜこのようになるのでしょうか。

2.下の問題の（ii）なのですが、
ｄｚ/ｄt=(a-bz)z
1/z(a-bz)dz=dt
∫1/a{(1/z)-(b/a-bz)}dz=dt
と先輩の答えにはあるのですが、2番目の式から3番目の式はどうやって導くのでしょうか。

回答No.1

alwen25

＞1.y´´+6y´+9y=e^(-3x)
λ^2+λ6+9=0として

微分方程式のこんな解法は見たことがありません。
数列の漸化式では見たことがありますが。

お礼

ありがとうございます。
どうやって解いていけばいいのしょうか。

補足

1.ある生物の集団の個体数を時間tの関数z=z(t)で表わすとき
ｄｚ/ｄt=(a-bz)zとあるのですが、なぜこのようになるのでしょうか。

2.下の問題の（ii）なのですが、
ｄｚ/ｄt=(a-bz)z
1/z(a-bz)dz=dt
∫1/a{(1/z)-(b/a-bz)}dz=dt
と先輩の答えにはあるのですが、2番目の式から3番目の式はどうやって導くのでしょうか。