偏微分

質問

「z=f(x,y),x=x(t),y=y(t)のときd^2z/dt^2を求めよ」という問題なのですが、
dz/dt=(∂z/∂x)(dx/dt)+(∂z/∂y)(dy/dt)
まではわかったのですが、最終的な答えが導けません。どなたかご教授願います。

回答No.1

stomachman

記号の扱いに慣れるまでは、式の意味を確認しながらやってくのが良いと思います。

dz/dt=(∂z/∂x)(dx/dt)+(∂z/∂y)(dy/dt)
　ここまではオッケーです。

　さて次に、右辺に出て来た４つの導関数を、「どの変数で決まる関数」だかはっきり分かるように、記号a,b,p,qを導入して
a(x,y)=(∂z/∂x)
b(x,y)=(∂z/∂y)
p(t)=(dx/dt)
q(t)=(dy/dt)
と書き直して眺めてみましょうか。すると
dz/dt = a(x,y)p(t) + b(x,y)q(t)
ですから右辺はx,y,tの関数です。さらにx,yもtの関数ですから
dz/dt = a(x(t),y(t))p(t) + b(x(t),y(t))q(t)
結局、右辺はtだけの関数になってる訳です。じゃ、左辺も新しい関数の記号cを導入して
c(t) = (dz/dt)
と書くことにしましょう。

　さて、計算したいのはc(t) をtで微分したものdc/dtです。
c(t) = a(x(t),y(t))p(t) + b(x(t),y(t))q(t)
の右辺は積の微分公式と合成関数の微分公式を使えば処理できることが分かります。

　こうなりゃ簡単でしょ。なぜなら、ご質問にあるdz/dtの計算も、この流儀で書いてみると
z(t)=f(x(t),y(t))
の両辺をtで微分したわけで、これはお出来になったのですから。

お礼

どなたでもいいんで、間違いを指摘してください。

補足

ご回答ありがとうございます。
一応やってみたので添削お願いします。
与式＝
(∂^2z/∂x^2)(dx/dt)^2
+(∂^2z/∂y∂x)(dy/dt)(dx/dt)
+(∂z/∂x)(d^2x/dt^2)
+(∂^2z/∂x∂y)(dy/dt)(dx/dt)
+(∂^2z/dy^2)(dy/dt)^2
+(∂z/∂y)(d^2y/dt^2)