微分

質問

Y(t)=F(K(t)，A(t)L(t)) をｔで微分すると
(dY/dt)=(∂Y/∂K)(dK/dt)+(∂Y/∂L)(dL/dt)+(∂Y/∂A)(dA/dt)
になるのはどうしてですか？

(dY/dt)=(∂Y/∂K)(dK/dt)+{∂Y/∂(AL)}{d(AL)/dt}
=(∂Y/∂K)(dK/dt)+{∂Y/∂(AL)}*L*(dA/dt)+{∂Y/∂(AL)}*A*(dL/dt)

になるのは分かるのですがこの続きが・・・。
よろしくお願いします。

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

力技のような気もしますが(笑い）、以下回答の一例として注意深く呼んでください、、、
φ(t)=A(t)L(t)と置きます。すると Y(t)=F(K(t),φ(t))。これをtで微分すると
dY/dt=(∂Y/∂K)(dK/dt)+(∂Y/∂φ)(dφ/dt)　　(1)
となります。(1)式右辺第2項の左側の微分が厄介なのですが、φはA,Lの関数なので
∂/∂φ=(∂/∂A)(∂A/∂φ)＋(∂/∂L)(∂L/∂φ)　(2)
とかけます(少し自信がないが、以前そのような展開をした経験が、、、)。この微分演算子をYに作用させると
∂Y/∂φ=(∂Y/∂A)(dA/dφ)+(∂Y/∂L)(dL/dφ)　(3)
となりますね。次に
dφ/dt=(dA/dt)L+A(dL/dt) (4)
また、φ＝ALからdφ/dA=Lとなり、これをひっくり返して
dA/dφ=1/L　　(5)
全く同様にして
dL/dφ=1/A　　(6)
が得られます。(5)(6)を(3)に代入すると
∂Y/∂φ=(∂Y/∂A)(1/L)+(∂Y/∂L)(1/A)　(7)
が得られ、(4)と(7)を(1)に代入すると
dY/dt=(∂Y/∂K)(dK/dt)
+{(∂Y/∂A)(1/L)+(∂Y/∂L)(1/A)}{(dA/dt)L+A(dL/dt)}
=(∂Y/∂K)(dK/dt)+(∂Y/∂A)(dA/dt)+(∂Y/∂L)(dL/dt)

お礼

丁寧に答えていただきありがとうございました。

回答No.1

noname#108554

YはKとALの関数なので、やや∂Y/∂Lの解釈が不明ですが、
実は、Y(t)=F(K(t)，A(t)，L(t)) となっているとすれば

(dY/dt)=(∂Y/∂K)(dK/dt)+(∂Y/∂L)(dL/dt)+(∂Y/∂A)(dA/dt)

となるのはChainRuleからすぐ出ます。
つまり、YがALの関数ということは、A,Lの関数でもあるということです。