微分の問題

質問

f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)…(1)
g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)…(2)
f(0)=1,g(0)=0

(1)　f'(0)=2,g'(0)=1、f(x),g(x)はすべてのxで微分可能であるとき、f'(x),g'(x)を求めなさい。

(2)　F(x)=log[｛f(x)｝^2+{g(x)}^2]とおくと、その導関数は定数となる。F'(x)を求めなさい。

(3)　F(x)を求めなさい。また、{f(x)}^2+{g(x)}^2を求めなさい。

この問題をどう解けば良いか分かりません。
解く過程を教えていただきたいです。

よろしくお願いします。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

この手の問題は、書き込みが大変だから、方針と解の概略だけ書いとくから実際の計算は自分でやって。
但し、数IIIは久しくやってないから、勘違いをしてるかもしれないが。。。。。ｗ　その時は、ごめん。

(1)
f(x),g(x)はすべてのxで微分可能だから、xを一時定数つまり、f(x),g(x)を定数と見て(2変数問題と考えるとわかりやすいだろうか？)　、先ずyについて微分する。
その結果の式に、y＝0を代入する。

(2)
h(x)＝｛f(x)｝^2+{g(x)}^2　として、　F(x)を実際に微分すると題意からF(x)が任意のxに対して　一定値になるから、x＝0に対しても成立することにより、f(0)^2+g(0)^2＝一定　になる。

(3)
ここまでくると、後は自分で解けるだろう。

(注)
この関係を満たすものに、f(x)＝cosx、g(x)＝sinxがある。
加法定理を思い出すと良いだろう。
それが解ってると、少しはやり易くなるかもしれない。

お礼

最後まで全部できました！本当に助かりました！
ありがとうございました！