条件を満たす１次変換の決定

質問

行列Ｍ=(a b)によって表される１次変換fによる点Ｐの像をf(P)と表すことにする。
wwwww(c d)
３点P1(1,1),P2(-1,-1),P3(1,0)に対して条件(A):{f(P1),f(P2),f(P3)}={P1,P2,P3}が成り立つとき
(1)f(P1)はP3と一致しないことを示せ (2)行列Mを全て求めよ。

(1)省略
(2) (1)と同様に,f(P2)=P3と仮定するとf(P1)は点(-1,0)となり矛盾。
よってf(P2)not=P3であるから、条件(A)が成り立つための条件はf(P3)=P3
ゆえに(a b)(1)=(1)よって {a=1,c=0
wwww(c d)(0)w(0)
また,条件(A)が成り立つための条件はf(P1)=P1またはf(P1)=P2
よって,(1 b)(1)=(1)または(1 b)(1)=(-1)から{b=0 d=1または b=-2 d=-1
wwww(0 d)(1)w(1)wwww(0 d)(1)w(-1)
したがって
M=(1 0) (1-2)
ww(0 1)w(0 -1)
逆に,このとき,f(P1)=P1,f(P2)=P2またはf(P1)=P2,f(P2)=P1となり条件(A)を満たす。

教えてほしいところ
逆に,このとき,f(P2)=P2または,f(P2)=P1となり条件(A)を満たすの確認だけでいいと思うんですが、なぜ
f(P1)=P1,f(P1)=P2を確認する必要があるんでしょうか？？
成り立つようなで解いているんだから成り立つのは自明じゃないですか？？？

回答No.2

noname#149523 · ベストアンサー

異なる写像を同じfで書いてるから。
fを変数的に使うのならf(P2)=P2だけでは不十分で、f(P1)=P1となるfでf(P2)=P2になるということを明記すべき。もう1個のfについても同じ。

回答No.1

momordica

f(P1)=P1,f(P1)=P2であることを確認しているわけではありません。
それぞれ、「f(P1)=P1のときf(P2)=P2」「f(P1)=P2のときf(P2)=P1」であることを確認しているのです。
「f(P2)=P2またはf(P2)=P1」だけでは、「f(P1)=P1のときf(P2)=P1」あるいは「f(P1)=P2のときf(P2)=P2」
となる可能性が否定できませんから、条件（A）を満たすことを確認したことにはなりません。

補足

すいません。うまく表現できてなくて伝わらなかったようです。
それぞれ、「f(P1)=P1のときf(P2)=P2」「f(P1)=P2のときf(P2)=P1」であることを確認しているのです。
「f(P2)=P2またはf(P2)=P1」だけでは、「f(P1)=P1のときf(P2)=P1」あるいは「f(P1)=P2のときf(P2)=P2」
となる可能性が否定できませんから、条件（A）を満たすことを確認したことにはなりません。
ここまではまったく自分と同じ考えです。
僕が聞きたいのはf(P2)=P2またはf(P2)=P1でｆがでてきます。そのとき、「f(P1)=P1のときf(P2)=P1」あるいは「f(P1)=P2のときf(P2)=P2」を確認するだけでいいはずなのにそうして得られたｆを
f(P2)=P2またはf(P2)=P1も確認する必要性がわからないのです。