極を持たない条件

質問

たびたび質問失礼します。
行列Aは4x4対角行列であり、^Tで転置を表すとするとb^T＝(0,1,1,1)とした場合、ベクトルxを引数とする関数ψ(x)=(x^T)Axの極を求める。ただし、拘束条件として、|x|^2=1,(b^T)x=0

という問題なのですが、このとき、x^T=(1,0,0,0)が極値を与える解とならないAの例を挙げよ。また、その例において極値を与えないことを示せ。という問題の解答で、A=diag[0,1,1,-1]という対角成分を持つAとすると、Aが極値を与えないことは自明に明らか、と書かれているだけなのですが、どうして自明に明らかと言えるのでしょうか？

宜しくお願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

え～と, 「極」じゃなくて「極値」, ね. これらは違う意味だから.
で, 「どうして自明に明らかと言えるのでしょうか」という質問は非常に奥が深かったりします. なにしろ「自明」というのは「本人がそう思ったときに使う」言葉なので.
とはいえ今回の場合「その A に対して x が ψ(x) の極値を与えない」ことはそれほど難しくありません. つまり任意の ε>0 に対して
x1 = (√(1-6ε^2), -ε, -ε, 2ε),
x2 = (√(1-6ε^2), 2ε, -ε, -ε)
とおくと
ψ(x1) < ψ(x) < ψ(x2)
だから. でも, 実際に解答を書くときには「自明」としないでちゃんと書いた方がいいよ.
あとその解答には
・「A が極値を与えない」は変だ. 今考えている関数では A を固定しているはずなのに
・「自明に明らか」ってなんだ. 「明らか」がだぶってる
とか, 突込みどころはありますね.

お礼

任意の ε>0 に対して
x1 = (√(1-6ε^2), -ε, -ε, 2ε),
x2 = (√(1-6ε^2), 2ε, -ε, -ε)
とおくと
ψ(x1) < ψ(x) < ψ(x2)

が言えるは分かるのですが、何故その事から局地ではないと言えるのですか？

回答No.5

Tacosan

= を入れるかどうかは微妙なところだけどそんな感じ. ちなみに「直行」じゃなくて「直交」ね.
もっと一般的にいうと
「f(x) が x = a で極大値をとる」というのは「正数 ε>0 が存在し, 任意の ε' < ε に対して a の ε'-近傍に含まれる全ての x で f(x) ≦ f(a)」
となる. 極小なら ≦ じゃなくて ≧.
で, これを言い替えると
「任意の a の任意の近傍において ψ(x) < ψ(a) < ψ(x') となる x, x' が存在するなら ψ(x) は x=a で極値をとらない」
となる. 左の不等式から x=a で極小値ではなく, 右の不等式から x=a で極大値でもない, ということ.

お礼

うわあ、むちゃくちゃあほなこと聞いてました・・・・・・
よく考えたら、ご呈示されていたx1,x2は拘束条件を満たしているから、ψ(x1) < ψ(a) < ψ(x2)になれば、そりゃ極値でないことになりますよね・・・

どうも有り難うございました。

回答No.4

Tacosan

えぇと....
「関数 f(x) が x = a で極値をとる」ことの定義は書けますか?

お礼

えと、この場合だったら、半径1の3次元球面上かつベクトルbと直行するすべてのa+δεにおいて、ψ(a)<ψ(a+δε)もしくは、ψ(a)>ψ(a+δε)となることではないんですか？

回答No.2

sono0315

んー
結局拘束条件があっても、x^Tは既に与えられている。
ほかに条件を満たすx^Tは作れるのに。与えられているってことは

つまりは
x=
(1)
(0)
(0)
(0)

x^T=(1 0 0 0)

であり、4*4の対角行列をAとする。そのとき(x^T)Axが極値を
持たないようなAを探しなさい。そして自明であることを言え。
という問題と等価だと思っていたのですが。

お礼

その解釈で良いとは思うのですが、この説明で自明と言われている理由が何故なのかがよく分からないのです。

回答No.1

sono0315

A=diag[0,1,1,-1]としたとき
ψ(x)=(x^T)Ax＝0

となるのがわかるから自明ということなんじゃないですか？

お礼

そうなるのは分かりますが、拘束条件が入っている場合でも、極とならないと言えるのは何故なのですか？