ベクトル演算

質問

A=(y,-x,z) B=(y^2,x,0)のとき(B・∇)A=(x,-y^2,0) A(∇・B)=(0,0,0) (A・∇)B=(-2xy,y,0) B(∇・A)=(y^2,x,0)と解答に書かれているのですが、なぜこのようになるのか途中式も含めてバカな私にもわかるように詳しく教えていただけませんか？

回答No.3

spring135 · ベストアンサー

＞A(∇・B)=(0,0,0) B(∇・A)=(y^2,x,0)はなぜこのようになるのですか？
∇・Bはベクトルに作用し、スカラーを生み出します。∇・BはベクトルBの「発散（divergence)」と呼ばれ,divBと書くこともあります。ベクトル演算子∇とベクトルBの内積のような形で定義されます。つまり

(∇・B)=(δBx/δx+δBy/δy+δBz/δz)
これに
B=(y^2,x,0）を代入すると
(∇・B)=0
ゆえに
A(∇・B)=(0,0,0)

同様に
(∇・A)=(δAx/δx+δAy/δy+δAz/δz)
これに
A=(y,-x,z)を代入すると
(∇・A)=0+0+1＝1
ゆえに
B(∇・A)=B==(y^2,x,0)

回答No.2

spring135

∇はベクトル演算子で（δ/δx,δ/δy,δ/δz)で定義され、この場合、スカラー関数に作用してベクトルを生み出す演算子と考えればよい。つまりスカラー関数f(x,y,z)に対して

∇f(x,y,z)=（δ/δx,δ/δy,δ/δz)f(x,y,z)=（δf/δx,δf/δy,δf/δz)

さて、∇に対してあるベクトル関数A(Ax,Ay,Az)との内積として以下の演算子を定義する。

A・∇=(Ax,Ay,Az)・（δ/δx,δ/δy,δ/δz)=Axδ/δx+Ayδ/δy+Azδ/δz

これも演算子であるがスカラーの形をしており、ベクトルに作用することができる。
つまり、他のベクトル関数B(Bx,By,Az)を持ってくると
(A・∇)B=(Axδ/δx+Ayδ/δy+Azδ/δz)(Bx,By,Az)
=((Axδ/δx+Ayδ/δy+Azδ/δz)Bx,(Axδ/δx+Ayδ/δy+Azδ/δz)By,(Axδ/δx+Ayδ/δy+Azδ/δz)Bz))
=(AxδBx/δx+AyδBx/δy+AzδBx/δz,AxδBy/δx+AyδBy/δy+AzδBy/δz,AxδBz/δx+AyδBz/δy+AzδBz/δz)

を定義することができる。

同様に

(B・∇)A=(BxδAx/δx+ByδAx/δy+BzδAx/δz,BxδAy/δx+ByδAy/δy+BzδAy/δz,BxδAz/δx+ByδAz/δy+BzδAz/δz)

問題の戻って

A=(y,-x,z)、 B=(y^2,x,0)
つまり
Ax=y,Ay=-x,Az=z
Bx=y^2,By=x,Bz=0
δAx/δx=0,δAx/δy=1,δAx/δz=0
δAy/δx=-1,δAy/δy=0,δAy/δz=0
δAz/δx=0,δAz/δy=0,δAz/δz=1

(B・∇)A=(y^2・0+x・1+0・0,y^2・（-1）+x・0+0・0,y^2・0+x・0+0・1)
＝(x,-y^2,0)

以下同じ

補足

A(∇・B)=(0,0,0) B(∇・A)=(y^2,x,0)はなぜこのようになるのですか？

回答No.1

htms42

ベクトルの内積の意味、∇の意味
を確かめてください。
その定義に従って忠実に計算すれば出てくるはずです。
偏微分のやり方が分からないのであれば調べて下さい。
全てテキストに載っているはずです。