ブラックホールの完全蒸発に要する時間の計算

質問

カーブラックホールのhorizonでの表面重力を計算し、それより温度を得ました。
また、計量よりhorizonの面積を求めました。温度と面積よりルミノシティーを計算し、
そこからカーブラックホールが完全に蒸発するまでの時間を求めました。結果は、

t(m,a)=-32 \pi ^3 \left(5 a^2 m+\frac{4 m^3}{3}+\frac{a^4 m}{2 a^2-2 m^2}+\frac{-26 a^4+13 a^2 m^2+4 m^4}{3 \sqrt{-a^2+m^2}}-\frac{11}{2} a^3 \text{ArcTanh}\left[\frac{m}{a}\right]\right)

となりました。mathematicaにやらせてます。(texですみません)mはブラックホールの質量で、aは回転パラメータです。
ここで、疑問です。最後の項には、ArcTanh(m/a)の項が出現していますが、この定義域は
a>mです。一方、他の項にはルート（m^2-a^2）といった定義域がm>aの項が出現しています。
ですので、全ての範囲でt(m,a)は定義不可能となっています。
計算ミスがないとすれば、このことを、どのように解釈すればよいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.6

ibm_111

久しぶりにKerrブラックホールの放射について調べてみるとありました。
http://www.physicsforums.com/blog.php?b=421
http://www.modernrelativitysite.com/chap11.htm
以上を見ると、極限Kerrブラックホール
（角運動量が最大のブラックホール。これを超える角運動量を持つと
裸の特異点になってしまう）の場合、T→0に行きますね。
したがって、回転しているブラックホールの場合、
寿命は伸びるはずです。

回答No.5

ibm_111

自分が得た積分を、a=一定の仮定のもと、mathematica onlineにやらせてみました。
http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=x^3*%28x%2Bsqrt%28x^2-a^2%29%29^3%2F%28x^2-a^2%29^2&random=false
一致しました。

被積分関数をよく見ると、広義積分だとしても、x～aの付近で発散しますね。
やはりa=一定の仮定はよくないようです。

すると、
解釈1：Kerrブラックホールは完全には蒸発せず、m=aになるのにさえ無限に時間がかかる。
解釈2：radiationによりaは積分が収束する程度に急激に減少する。
解釈2だとすると、aとmの関係を与えなければならないのですが、どうしましょうか。
電磁波による角運動量輸送を考慮しなければならないのかな。
そもそも電磁波で角運動量って輸送できるのかな・・・
という感じでそろそろフェードアウトしようかと。

お礼

返事が遅くなり申し訳ありません。
ルミノシティーの計算の時に、角運動量からの寄与を無視してたのが
駄目だったんじゃないかと思います。
aは時間変化すると考えています。
しかし、どんな粒子が放出されるかで変化率は異なるので、
だいぶ複雑な話になりそうな気がしています。

有意義な解答、ありがとうございました。

回答No.4

ibm_111

計算してみて思ったのですが、aとmの関係はどうしてますか？
aは時間に依らず一定としてますか？

a=一定とすると、裸の特異点が出現しますよね？
mは小さくなるのに、a=一定だと、
http://www.scholarpedia.org/article/Bekenstein-Hawking_entropy
のEquation2のルートの中身が負になります。

したがって、a=一定はありえず、
時間とともにKerrブラックホールはゆっくりと回転するようになるはずです。

回答No.3

ibm_111

すみません、書き忘れました。
a→0の極限で最後の項が無視できるとした場合です。

arctanh(x)=1/2 * log((1+x)/(1-x))
http://mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicTangent.html
らしいので、

a^3 \text{ArcTanh}\left[\frac{m}{a}\right]→0

ですね。

回答No.2

ibm_111

与えられた式で、a=0（つまりシュバルツシルト時空）とすると、
t(m,a)<0
となります。
したがって、計算ミスではないかと。

お礼

計算ミスの可能性の指摘ありがとうございます。
積分範囲を誤って[m,0]として計算してました。正しくは[0,m]です。
しかし、結果は×(-1)倍となるだけなので、問題は解決できませんでした。
よく考えてみます。

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

誠治（SEIZI・SAGE)（@romanda201）

空間の歪みなんて計算できると思いますか？

お礼

一般相対性理論は、重力を空間の歪みととらえることで、
重力をうまく(すい星の近日点移動など)説明できる理論であることは事実です。
しかし、量子重力レベルでは、空間の歪みを正確に計算するのは難しいでしょうね。

ご回答ありがとうございます