ベクトルポテンシャル下での電流演算子

質問

下のはtexファイルです。
(11)あたりが怪しいです。
計算が間違っているのでしょうか？？
教えてください。。お願いします。

\section{Quantum mechanical current}
anypositionでprobability amplitudeのtemporal differentiationを考える。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial }{\partial t}|\psi|^2
&=& \frac{\partial }{\partial t}[\psi^* \psi]\\
&=& \frac{\partial \psi^*}{\partial t} \psi + \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t} \\
&=& \frac{i}{\hbar}\biggl[ (H^* \psi^*)\psi-\psi^*(H\psi) \biggr]
\end{eqnarray}
ただしHamiltonianはHermitian operatorである。
Hamiltonianとして
\begin{eqnarray}
H
&=& \frac{1}{2m}\left(p+\frac{e}{c}\bf{A} \right)^2 \\
&=&
\underbrace{\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2}_{H_0}
\underbrace{-\frac{i\hbar e}{2mc}(\nabla \cdot \mbox{\boldmath $A$}+\mbox{\boldmath $A$} \cdot \nabla)}_{H_1}
\underbrace{ + \frac{e^2}{2mc^2}}_{H_2}
\end{eqnarray}
を採用する。
以下このHamiltonianを用いてprobability amplitudeのtemporal differentiationを考えていく。
\begin{eqnarray}
\frac{i}{\hbar}\biggl[ (H^*_0 \psi^*)\psi-\psi^*(H_0\psi) \biggr]
&=& -\frac{\hbar}{2mi}\biggl[ (\nabla^2 \psi^*)\psi-\psi^*(\nabla^2\psi) \biggr] \\
&=& \nabla \cdot \biggl[ \frac{\hbar}{2mi}\left\{ (\nabla\psi^*)\psi-\psi^*(\nabla \psi)\right\} \biggr]
\end{eqnarray}
なぜなら
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot [(\nabla\psi^*)\psi-\psi^*(\nabla \psi)]
&=&(\nabla^2\psi^*)\psi-\psi^*(\nabla^2\psi)
\end{eqnarray}
次に
\begin{eqnarray}
\frac{i}{\hbar}\biggl[ (H^*_1 \psi^*)\psi-\psi^*(H_1\psi) \biggr]
&=& \frac{e}{2mc}\left\{\biggl[(\nabla \cdot \mbox{\boldmath $A$}+\mbox{\boldmath $A$} \cdot \nabla)
\psi^*\biggr]\psi-\psi^* \biggl[ (\nabla \cdot \mbox{\boldmath $A$}+\mbox{\boldmath $A$} \cdot \nabla)\psi\biggr] \right\}
\end{eqnarray}
ここで、vector formula
\begin{eqnarray}
\nabla\cdot(\psi^*\mbox{\boldmath $A$} \psi)
&=& (\nabla\psi^*)\cdot \mbox{\boldmath $A$} \psi+\psi^*(\nabla\cdot\mbox{\boldmath $A$} )\psi
+\psi^*\mbox{\boldmath $A$} \cdot (\nabla\psi)
\end{eqnarray}
を用いると、
\begin{eqnarray}
\frac{i}{\hbar}\biggl[ (H^*_1 \psi^*)\psi-\psi^*(H_1\psi) \biggr]
&=& -\frac{e}{mc}\nabla\cdot(\psi^*\mbox{\boldmath $A$}\psi)
\end{eqnarray}
を得る。ここでcontinuity equation
\begin{eqnarray}
e\frac{\partial |\psi|^2}{\partial t}=\nabla\cdot \mbox{\boldmath $j$}
\end{eqnarray}
を与えれば、current densityが考えられる。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

(3)式の導出(特にH^*が出てくる部分)をきちんとフォローすれば分かるはずですが、H^*はHのエルミート共役(通常はH^†と書く)ではありません。普通の行列で言えば、単に各成分の複素共役をとった行列に相当します(つまり、転置はしてません)。

H_1の複素共役をとると、iの部分は-1倍になりますが、∇,Aは変化しませんので、全体としては-1倍が出てきますね。

回答No.4

ojisan7

（５）の右辺２項、３項の符号が違うような気がします。Ｈはエルミートですが、H^*=Hではありません。H^†=Hです。言い換えれば、Ｈがエルミートというのは、<φ,HΨ>=<Hφ,ψ>ということです。
（１１）の右辺はちょっと違うような気がします。どのように計算してそのようになりましたか？
それから、補足説明をお願いしたいのですが、密度関数Ｊはどのように定義しましたか？私はまだ計算していないのですが、連続の方程式を導くには、スカラーポテンシャルも考慮しないとうまくいかないような気がします。

回答No.2

eatern27

#1です。すいません、ちょっと勘違いました。
(9)式の第１項にマイナスがつきます。

お礼

お返事ありがとうございます。
確かにそうすると計算が(11)までいきます。
しかし何で第一項にマイナスがつくのでしょうか？
Hamiltonianはエルミートでなければいけないので
H^*=H
でなければいけないんではないんですか？

回答No.1

eatern27

(9)式の右辺にあるマイナスはプラスの間違いですね。ここを直して計算すれば確かに(11)式となります。