天敵・計算問題

質問

m > 0に対して、

m^(-1) ・ e^(-4πm) ・ { m + (1 - m)・e^(-4πm) }^(-3/2)

が1以下(1未満でもいいのですが)であることを示したいのですが、これがいくら考えてみても出来ないのです。これは実はあるレポートの問題を解いていく過程の最終段階で出現したもので、これを示せれば証明完了と言う問題です。分かる方がいましたらよろしくお願いします…。
なんでしたら、1以下になるmの範囲を求めてくれるのでもいいのですが、m・e^(-4πm)なんて項も入っているし、これもかなり苦しい様な気がするのですが、出来るのでしょうか?これも少し考えてみましたけど、発散してしまいました。計算問題は僕の天敵です(^^;;;

回答No.6

mmky · ベストアンサー

参考程度に

e^(-4πm)*{ m + (1 - m)*e^(-4πm) }^(-3/2)
でしたら、
m=0.1付近に1を越えるピークがありますね。
e^(-4πm)*{ m + (1 - m)*e^(-4πm) }^(-3/2)
=e^(-0.4π)*{0.1+0.9*e^(-0.4π) }^(-3/2)
=(0.284609543)*(4.704929908)
=1.339067953
困っちゃいましたね。

お礼

ええー!!(*o*)
そうですか…。また計算間違いをしているのかも知れませんが、もう僕には見つけられません。月曜日辺りに先生に問題が間違っていないかどうか聞いて来ます。
間違っていないということであれば、またバグ捜しを敢行します(*o*;;;

補足

(※お礼の欄の後記)
<<回答者のみなさまへ>>

すみませんすみません。街を自転車で走っていたら、ふとトンでもない思い違いをしていることに気が付きました。
実は先ず、
f(x) = m^(1/2) * { 1 + (m/x^2 - 1)*e^(-4πm) }^(-3/2) * x^(-3) * e^(-4πm) * m
と言う式があって、x=mとした式が例の式だったのです。
f(m) = e^(-4πm) * { m + (1 - m)・e^(-4πm) }^(-3/2)

それで、自転車で走っていてふと気付いた思い違いというのは、
「x=mとするのは間違いで、x=√mとするのが正しいんじゃないのか?」と言うものです…。そして家に帰ってよーく検討してみた結果そうでした…。本当にすみません。そして、x=√mとして計算してみました所…
f(√m) = m^(1/2) * { 1 + (1 - 1)*e(-4πm) }^(-3/2) * m^(-3/2) * e^(-4πm) * m
　　　　 = e^(-4πm) < 1 (∵-4πm < 0 )
と成りました。いくら家の中で考えてみても気付かなかったことが、外に出てふと気が付くとは、人間とは不思議なモノです…

という訳で問題は解決しました…。回答者のみなさまには本当にご迷惑をおかけしました。本当にごめんなさい。今日(2003/02/15)いっぱいは開けて置きますので、誹謗中傷なんなりと受け付けます…(ただし回答者の方からのものだけです。関係無い方の誹謗中傷は遠慮させて下さい)

回答No.8

eatern27

#４+#５です。
計算用紙とにらめっこしていても、どこをどうすればいいのか分からないのに、
気分転換にテレビを見たり、夜遅いから寝ようと思ったら、
こう解けばいいんじゃないか、とか、ここが違うんじゃないか。
と発見するのはよくあるものです。
特にテストの時などは、テストの時間中はいくら考えても分からなかった問題が、テストが終わってから落ち着いて考えると１分で分かったり・・・・。
解き方が分かったのは嬉しいのですが、何でこんな事に気がつかなかったのかと悲しくなります。

とりあえあず、答えが分かってよかったですね。

お礼

>テストが終わってから落ち着いて考えると１分で分かったり・・・・。

大学に入ってからは、制限時間が90分と長いので少なくなりましたけど、
高校時代以前はこういうことは頻発していました…

>とりあえあず、答えが分かってよかったですね。

よかったです。ありがとうございました。

回答No.7

mmky

追伸まで
mmkyです。
質問者のdet_mul2さん、すっきりして良かったですね。
回答者の皆さんもアドバイスできて喜んでいると思いますので、
気持ちよく締めてくださいね。

追伸まで

お礼

そう言って貰えると助かります^。^
ありがとうございました。

回答No.5

eatern27

＃４です。
レポートの途中過程で計算間違いをしている可能性はないのでしょうか？

補足

ごめんなさいごめんなさいごめんなさい!!!

>m^(-1) ・ e^(-4πm) ・ { m + (1 - m)・e^(-4πm) }^(-3/2)
よくよく確かめてみたら、これは間違いで、
m^(-1) ・ e^(-4πm) ・ { m + (1 - m)・e^(-4πm) }^(-3/2) ・m
= e^(-4πm) ・ { m + (1 - m)・e^(-4πm) }^(-3/2)
でしたー(最後にmが追加されています)!!　一歩手前の段階で計算ミスをやらかしていました…。本当にすみませんすみませんご迷惑をおかけしました。計算問題が苦手な上に、解いていたのが深夜だったもので…。今後、解答が手元に無い計算問題を深夜にした時にうまく行かなくても、直ぐに教えて!gooに投げることは控えます。

e^(-4πm) ・ { m + (1 - m)・e^(-4πm) }^(-3/2) → 1 (m → 0)
となり、
e^(-4πm) ・ { m + (1 - m)・e^(-4πm) }^(-3/2) → 0 (m → ∞)
となるので恒等的に1未満に成りそうなんですが、やはりうまく示すことが出来ません。
e^(-4πm) ・ { m + (1 - m)・e^(-4πm) }^(-3/2)
が単調減少であることを示せればOKだと思って、微分してそれが恒等的に負になることで示そうとしましたが、やはり発散して仕舞いました(--;;;
他にやり方はあるんでしょうか？

回答No.4

eatern27

＃１さんのおっしゃる通り、0<m<約0.257では１以上になりそうです。
excelへの入力を間違えている可能性はありますが、
m→+0の時に
m^(-1) →+∞
e^(-4πm) →１
｛m + (1 - m)・e^(-4πm)｝^(-3/2)→１
であるから、
m^(-1) ・ e^(-4πm) ・ { m + (1 - m)・e^(-4πm) }^(-3/2) →+∞
となります。
したがって、m > 0の時に恒等的には
m^(-1) ・ e^(-4πm) ・ { m + (1 - m)・e^(-4πm) }^(-3/2) < 1
が成り立つことはないと思います。

回答No.3

mmky

参考程度に

ExceLで計算しますと、（多分あっていると思いますが確認してね。）

Ａ＝m^(-1) ・ e^(-4πm) ・ { m + (1 - m)・e^(-4πm) }^(-3/2)
が1以下の数値になるのは、以下の条件でした。
Ａ＜1, m＞0.9981・・・
ちなみに、
m=0.99800----A=1.059732912
m=0.99810----A=1.007278266
m=0.99812----A=0.996780653

参考程度に

お礼

アドバイスありがとうございました。

やっぱり数値計算でないとAが1以下になる範囲は求まらないんですかね…。
というか、レポートの課題の内容から、mがどんな値であっても(正なら)
恒等的に

m^(-1) ・ e^(-4πm) ・ { m + (1 - m)・e^(-4πm) }^(-3/2) < 1

が成立する筈なんですけど、

>m=0.99800----A=1.059732912
>m=0.99810----A=1.007278266

ということですから、こりゃ問題が間違っているのかも知れませんね。
暫く考えてもダメだったら先生に聞いてみることにします。

回答No.2

shiro-hase

こん＊＊は。

＞m^(-1) ・ e^(-4πm) ・ { m + (1 - m)・e^(-4πm) }^(-3/2)
ですが、全部、分母になりますよね？

m^(-1) ・ e^(-4πm) ・ { m + (1 - m)・e^(-4πm) }^(-3/2)

=(1/m)*(1/(e^(4*pi*m)))*1/{sqrt{m+(1-m)*1/(e^(4*pi*m)}^3}

括弧の対応があってないかもしれませんが、
とにかく、すべて分母にくるので、１以下になるのではないでしょうか。

１以下になるｍの範囲は
（上式）＜＝1
とおいて、計算すれば、すぐにもとまりますけど。

以上参考までに。

補足

アドバイスありがとうございました。

>とにかく、すべて分母にくるので、１以下になるのではないでしょうか。

確かに全て分母に来るのですが、mの値に依ってはその限りではないですよね。

>１以下になるｍの範囲は
>（上式）＜＝1
>とおいて、計算すれば、すぐにもとまりますけど。

式の変形だけで求まるということでしょうか(そうだと嬉しいのですが…)？
それとも計算機を用いて数値的に求まると言うことでしょうか?

回答No.1

tomin

0<m<1/4では、1以上になるようですね・・・。