電気回路の問題

質問

以下の電気回路の問題（a）～（c）がわからず悩んでいます。
電気にかんしては初心者のためわかりやすく教えていただけるとうれしいです。
ちなみに（a）の回答は
Ｚ＝Ｒ＋１/jωｃよりＩＺＩ＝１０＾3√１＋１０＾12/ω＾2
であっていますでしょうか？
また（ｂ）や（Ｃ）で電圧の絶対値と出てきますがどういう意味なのでしょうか？
（a）と同じように各々２乗の平方根をとればいいのでしょうか？
わかりやすく教えていただけるとうれしいです。

回答No.1

Executione · ベストアンサー

(a)は、一応、合っているのですが、ちょっと疑問が。
ベクトルの表し方には、４種類あります。（A→はベクトルを表し、Aは大きさを表しています。）

(1)直交座標式・・・A→=a+jb
(2)三角関数式・・・A→=A(sinθ+jcosθ)
(3)極座標式・・・・A→=A∠θ
(4)指数関数式・・・A→=Ae^(jθ)

問題の電圧がvi→=ae(jωt)となっているので、指数関数式で解くのが問題の趣旨なのかな思いますが、絶対値（大きさ）だけの結果でしたら、どれでも同じなので、気にせず解きます。

また、絶対値というのは大きさのことです。
交流では、電圧や電流は、ベクトルなので、大きさと方向（位相、偏角）を持っている物理量になります。そのうちの大きさだけを答えなさい、という問題です。

時計の針でたとえると、3時と12時では方向が違いますが、針の長さは、半径のようなものですので、どこでも同じ長さです。これと同じように、電圧も時々刻々と変わっていますが、大きさというのは変わりません。その大きさを求めるというのが絶対値なのです。

さて、

(a)は、合ってます。

(b)は、

＞（a）と同じように各々２乗の平方根をとればいいのでしょうか？

でも良いですし、結局、絶対値を求めるので、最初から大きさ（絶対値）で計算しても同じです。

(a)と同じように解くと、

Z=R-jX 　（ただし、X=1/ωc）
分圧の法則より、vo=vi・(-jX)/Z　・・・(1)式

先に以下を計算しておきます。
(-jX)/Z＝-jX/(R-jX)
=-jX(R+jX)/(R^2+X^2)
=(X^2-jXR)/(R^2+X^2)

ここで、各々2乗の平方根を用いて、大きさ（絶対値)を求めます。
=X/√(R^2+X^2)

これを(1)式に代入して、
vo=vi・X/√(R^2+X^2)　・・・(2)式

(2)式は、結局、最初から大きさ（絶対値）でやったほうが早いですよね。
-jXの大きさはX、Z=R-jXの大きさは、√(R^2+X^2)なのですから。

最後に、vi=ae(jωt)の大きさは、｜vi｜=a
（e(jωt)の部分が位相（偏角）を表していますので、大きさを考えるときは、無視します。）

したがって、
｜vo｜=a・X/√(R^2+X^2)・・・(3)式

(c)は、(3)式をグラフにするだけですね。
このままですと分かりにくいので、変形します。

vo=a・X/√(R^2+X^2)
分母分子をXで割ります。
vo=a・/√((R^2/X^2)+1)

x=1/ωcを代入して、

vo=a・/√((ωcR)^2+1)

となります。
後は、周波数特性のとき、ωのままでやるか、ω=2πfにして、fでグラフにするかです。
aとcR、および、2πは定数ですので、voとfのグラフを描けば出来上がりです。

お礼

Executione様大変わかりやすい御回答ありがとうございます。
最初のベクトル表記、絶対値の考え方、vi=ae(jωt)の大きさが｜vi｜=aとなることなど大変わかりやすく理解が深まりました。
どうしても電気回路はイメージしにくく苦手意識もありましたが順序良く丁寧に説明していただけると少しずつ理解できるようになってきました。
大変参考になりました。
ありがとうございました。