数学質問

質問

画像で添付した問題について。
画質が悪くて見えないかもしれないので一応文字でも...
(1)a,bを実数とし、iを虚数単位とする。方程式x^3+ax+b=0の解の1つが1-iであるとき、a、bの値を求めよ。
この問題がイマイチわからず、解説を見たところ、解説には「a,bが実数であるので、x=1-iを解にもつ2次関数はx=1+iも解にもつ。よって、x=1-iを解にもつ実数係数の2次方程式は x^2-2x+2=0 となる。

とあるのですが、なぜこのような2次関数になるのですか？？x=1-iを重解として持つ2次関数{x-(1-i)}^2かな？と考えて展開してみたのですが、解説のような2次関数になりません。{x-(1-i)}{x-(1+i)}を展開してもなりませんでした。 計算が間違っているのでしょうか？ どうやったら解説のような2次関数が出ますか？？

回答No.1

wtz · ベストアンサー

2次方程式の解の公式は覚えてますか?
復習も兼ねて以下を読んでみましょう。

http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/kainokoshiki/

さて大雑把に言うと、２次方程式の解は
x=a ±√b の形をしており、係数が実数なら a,b も実数になります。
ここで虚数解が出てくるなら b<0 でなければなりません。

今の問題では x=1-i を解を持ちますから a=1, b= -1 の形しかありません。
よって x= 1+i を解としてもたざるを得ません。

{x-(1-i)}{x-(1+i)} を展開しても、問題の２次式が得られなかったなんて嘘でしょう?
どこかで計算しているのではないでしょうか?
がんばってください。

回答No.4

noname#203334

一般に、実数係数のn次方程式P(x)=0
の両辺の複素共役をとると
（P(x))~=P(x~)=0
となります。
（ただし複素数zに対してz~はzの複素共役を表すものとする）

つまりαがP(x)=0の解ならばα~もP(x)=0の解になります。

この性質をつかうと、1+iが実数係数の3次方程式x^3+ax+b=0の解なので1+iの複素共役である1-iもこの3次方程式の解になることがわかります。

因数定理を2回使って、あるxの一次式Q(x)を用いて
x^3+ax+b={x-(1-i)}{x-(1+i)}Q(x)
と書けます。

{x-(1-i)}{x-(1+i)}= x^2-2x+2
です。

回答No.3

info222_

>「a,bが実数であるので、x=1-iを解にもつ2次関数はx=1+iも解にもつ。よって、x=1-iを解にもつ実数係数の2次方程式は x^2-2x+2=0 となる。

これから
>{x-(1-i)}{x-(1+i)}を展開してもなりませんでした。 計算が間違っているのでしょうか？
計算間違いしてるだけ！でしょう。
{x-(1-i)}{x-(1+i)}=(x-1)^2-i^2=(x-1)^2+1=x^2-2x+2

なので「 x^2-2x+2=0」となります。

おわかり？

回答No.2

yyssaa

＞{x-(1-i)}*{x-(1+i)}=x^2-(1+i)x-(1-i)x+(1-i)(1+i)
=x^2-2x+1-i^2=x^2-2x+2