微分方程式なんですけど…？？？

質問

微分方程式で　y' = dy/dx とします。

y' + y*sinx = y^2*sinx

とsinが入ると頭がパニックに…
詳しい計算の方法を教えてください。
どなたかアドバイスをよろしくお願いします。

回答No.2

inazu · ベストアンサー

考え方としては変数分離形を利用します。
y'=y(y-1)*sinx
変数を分離するため両辺をy(y-1)でわる。
1/(y(y-1))*(dy/dx)=sinx　
両辺をxで積分する．
∫1/(y(y-1))*(dy/dx)*dx = ∫sinx*dx
∫1/(y(y-1))*dy = ∫sinx*dx　　…変数分離になりました(左辺はyのみ，右辺はxのみ)
1/(y(y-1)) = 1/(y-1) - 1/y　であるから(部分分数にする)
∫{1/(y-1)-1/y}*dy = ∫sinx*dx
log|y-1| - log|y| = -cosx + C (C:積分定数)
log|y| - log|y-1| = cosx + C …-C=Cと置いています
log|y/(y-1)| = cosx + C
指数対数変換より
y/(y-1) = ±exp(cosx+C) …絶対値なので±を忘れずに
y/(y-1) = ±exp(C)*exp(cosx) …単なる指数法則
y/(y-1) = C*exp(cosx) …±exp(C)=Cと置いています
y = (y-1)*C*exp(cosx)
(1-C*exp(cosx))y = -C*exp(cosx)
よって，y=C*exp(cosx)/(C*exp(cosx)-1)

このように変数分離形の問題としてとけます。途中定数はとにかくCと置き換えていくことだけは気をつけましょう．

回答No.1

nontarou

y'以外の項をまとめます→y'+y*(1-y)*sinx=0
全体をy*(1-y)で割ります→y'/y/(1-y)+sinx=0
前半を分数の和に直します→y'/y+y'/(1-y)+sinx=0
全体をxで積分します→log(y)-log(1-y)-cosx+C=0：Cは定数
logの和は中味の積ですから→log(y/(1-y))-cosx+C=0
-cosx+Cを右辺に移します→log(y/(1-y))=cosx-C
logとexpの関係から→y/(1-y)=exp(cosx-C)
左辺を書きかえると→1/(1-y)-1=exp(cosx-C)
ここまで来たらあとはできますね→y=1-1/(C1*exp(cosx)+1) です
ただしexp(C)をC1で書き換えました。