数学センター試験の過去問での解法を教えてください。

質問

1992年追試験数学I

２次関数のf(x)とg(x)があるとき、
y={f(x)+kg(x)}/(1+k)
が、２つの関数の交点を通過する放物線になるとのことなのですが、
この理屈がいまいちわかりません。

どなたかお教えください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

２つの関数
y=f(x)とy=g(x)の交点P(p,q)とすると
q=f(p)
q=g(p)
が成り立つことはお分かりですね。

このとき ２つの関数の交点P(p,q)の座標を
y={f(x)+kg(x)}/(1+k) … (★)
に代入してみると、
{f(p)+kg(p)}/(1+k)=(q+kq)/(1+k)=q(1+k)/(1+k)=q
となるので（★）の方程式のグラフが交点P(p,q)を通ることが確認されたわけです。

なお、
「２つの関数の交点を通過する放物線になるとのことなのですが、」
と書いてありますは、問題にはどこにも放物線と書いてありません。
y=f(x),y=g(x)の少なくとも片方が放物線で、
(★)の式の左辺が２次式であれば放物線になりますが…。
問題を投稿する際は、結果に影響する問題文の条件や説明を省かないで下さい。

お礼

>２次関数のf(x)とg(x)があるとき、
このように書いたので特に問題はないと思ったのですが、
省略しないほうがよかったですね。
ご指摘ありがとうございました。

回答No.3

gohtraw

＃１です。ｐとｑが混乱しています。訂正です。
誤：（ｐ＋ｋｐ）／（１＋ｋ）＝ｐ（１＋ｋ）／（１＋ｋ）＝ｑ
正：（ｑ＋ｋｑ）／（１＋ｋ）＝ｑ（１＋ｋ）／（１＋ｋ）＝ｑ

回答No.1

gohtraw

ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）とおいたときの解をｘ＝ｐ、ｆ（ｐ）＝ｇ（ｐ）＝ｑとします。
{f(x)+kg(x)}/(1+k)　にｘ＝ｐを代入すると、
（ｐ＋ｋｐ）／（１＋ｋ）＝ｐ（１＋ｋ）／（１＋ｋ）＝ｑ
となり、この関数のグラフが（ｐ、ｑ）を通る事が判ります。

お礼

回答ありがとうございます。